Έστω τρίγωνο $ABC$ και $H$ το ορθόκεντρο του.
Αν $G_{A}$, $G_{B}$, $G_{C}$ τα κέντρα βάρους των τριγώνων $HBC$, $HAC$ και $HAB$ και $AB = 13$, $BC = 14$, $CA = 15$, να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου $G_{A}G_{B}G_{C}$.
Harvard - MIT Mathematics Tournament 2015
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφή$\boxed{{G_C}{G_B}// = \dfrac{1}{3}BC}$
ΑπάντησηΔιαγραφήΑπό τον τύπο του Ήρωνα $(ABC) = 84$ και άρα $\boxed{({G_A}{G_B}{G_C}) = \dfrac{1}{9}(ABC) = \dfrac{{28}}{3}}$
Κατασκευάζουμε το τρίγωνο $ABC$ και το ορθόκεντρο του $O$, όπως και τα τρίγωνα $HBC, HAC$ και $HAB$ και τα βαρύκεντρα τους $G_{A},G_{B},G_{C}$ αντίστοιχα και έστω $K,L,M$ τα μέσα των $HA,HB,HC$ αντίστοιχα. Λόγω ομοιότητας τριγώνων και ιδιοτήτων κ. Βάρους $2/3$ προς $1/3$ έχουμε:
ΑπάντησηΔιαγραφή$G_{A}G_{B}//LK \wedge G_{C}G_{B}//LM \wedge G_{C}G_{A}//KM $ και
$G_{A}G_{B}= \dfrac{2}{3} LK= \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{2}BA $ και αντίστοιχα
$G_{C}G_{B}=\dfrac{1}{3}BC$ και $G_{C}G_{A}=\dfrac{1}{3}AC$
Άρα τα τρίγωνα $G_{A}G_{B}G_{C}$ και $ABC$ “συμμετρικά όμοια”(δεν γνωρίζω τον ακριβή όρο) με λόγο $\dfrac{1}{3}$
άρα $\dfrac{(G_{A}G_{B}G_{C})}{(ABC)} =$ $\dfrac{1}{3^2}=$ $\dfrac{1}{9}$
Στο τρίγωνο $ABC$ έχουμε $r=\dfrac{13+14+15}{2}=21$
άρα $(ABC)=$ $\sqrt{21\cdot(21-13)\cdot(21-14)\cdot(21-15)}$ $=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84$
άρα $(G_{A}G_{B}G_{C})=$ $\dfrac{84}{9}=$ $\dfrac{28}{3}$