Τα θέματα του διαγωνισμού SEEMOUS 2015

1) Να αποδειχθεί ότι για κάθε $x\in (0,1)$ ισχύει η ανισότητα:

 $\displaystyle{\int_{0}^{1}\sqrt{1+\cos^2{y}}dy > \sqrt{x^2 + \sin^2{x}}}$. 

2) Για κάθε θετικό ακέραιο n, θεωρούμε τις συναρτήσεις $f_n :\mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R}$, που ορίζονται από την αναδρομική σχέση $f_{n+1}(x)=f_1 (f_n (x))$, όπου $f_1 (x)=3x-4x^3$. 

Να λυθεί η εξίσωση $f_n (x)=0$. 

3) Για κάθε ακέραιο $n>2$, έστω $A,B,C,D\in\mathcal{M} _n (\mathbb{R} )$ πίνακες για τους οποίους ισχύει $AC-BD=I_n$ και $AD+BC=O_n$. 

Να αποδειχθεί ότι: 

α) $CA-DB=I_n$ και $DA+CB=O_n$, 

β) $det(AC)\geq 0$ και $(-1)^n det(BD)\geq 0$. 

4) Έστω ένα ανοικτό σύνολο που περιέχει το και μια συνάρτηση κλάσης τέτοια, ώστε:

.

α) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει τέτοιο ώστε:
, για κάθε .
β) Για το του ερωτήματος α), ορίζουμε αναδρομικά την ακολουθία με: 

 

και

 

για κάθε .
Να μελετηθεί η σύγκλιση της σειράς

  , για .

Πηγή

Δείτε εδώ τα θέματα και λύσεις παρελθόντων ετών.