Τετάρτη 4 Μαρτίου 2015

Τριγωνικοί υπολογισμοί

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $ΑΒΓ$ πλευράς $1$. Αν η απόσταση του σημείο $Δ$ από την κορυφή $Α$ είναι $7$ cm. Να βρεθούν οι αποστάσεις του σημείου $Δ$ από τις κορυφές $Β$ και $Γ$, αν είναι γνωστό ότι αυτές, εκφραζόμενες σε εκατοστά, είναι ακέραιοι αριθμοί.
Περιοδικό Quantum
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

5 σχόλια:

  1. Στο επίπεδο δεν υπάρχει τέτοιο σημείο
    Υπάρχει όμως στο χώρο και απέχει $7$ από τις δύο άλλες κορυφές .

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Πολύ έξυπνο Doloros! Αποδεικνύεται για ακόμα μια φορά, ότι όταν σκεπτόμαστε γεωμετρικές λύσεις, θα πρέπει να λαμβάνουμε υπ’ όψη μας και τις άλλες διαστάσεις!!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ευχαριστώ πολύ αν και πρέπει να την είχα ξαναδεί και μου ήταν γνωστή η απάντηση .
      Ας δούμε όμως κι αυτό .
      Ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$ η πλευρά του έχει μέτρο $8$.
      Στο επίπεδο του τριγώνου υπάρχει σημείο $D$ με $DA = 7$.
      Να βρείτε τις αποστάσεις του $D$ από τις κορυφές $B,C$ αν γνωρίζεται ότι εκφράζονται από ακέραια μήκη

      Διαγραφή
  3. Γεια σου Νίκο

    $D$ στην προέκταση της $BA$, άρα $DB=15$ και

    $DC^2=15^2+8^2-2*8*15*cos60° \Rightarrow $ $DC=13$

    (Αντίστοιχα αν θεωρήσουμε το $D$ στην προέκταση της $CA$)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. $DC^2=8^2+7^2-2*8*7*cos120° \Rightarrow$ $DC=13$
    Η αφετηρία της σκέψης μου-ανάλυση ήταν:
    Επειδή $DC^2=8^2+7^2-2*8*7*cosx$ πρέπει το $cosx$ να είναι τόσο ώστε το $8^2+7^2-2*8*7*cosx=$ $113-2*8*7*cosx$ να είναι τέλειο τετράγωνο. $(121,144,169)$
    $169$ άρα $cosx=-\dfrac{1}{2}$, άρα $x=120°$ και $A+x=180°$

    ΑπάντησηΔιαγραφή