Από την ισότητα: (Α+1)(Β+1)(Γ+1)=ΑΒΓ+ΑΒ+ΑΓ+ΒΓ+Α+Β+Γ+1, και με δεδομένο ότι Α+Β+Γ=10, προκύπτει:
ΑΒΓ+ΑΒ+ΑΓ+ΒΓ=(Α+1)(Β+1)(Γ+1)-11.
Οι 3 αριθμοί (Α+1), (Β+1), (Γ+1), έχουν σταθερό άθροισμα (13), επομένως το γινόμενο τους μεγιστοποιείται όταν αυτοί γίνουν ίσοι, και δεδομένου ότι είναι ακέραιοι, όταν πάρουν τις τιμές 4,4 και 5.
Αρα η ζητούμενη παράσταση μεγιστοποιείται για τιμές των Α,Β, Γ ίσες με 3,3 και 4, παίρνοντας τη τιμή 69
Μπράβο Στράτο, πολύ ωραία λύση! Μια εναλλακτική λύση / απόδειξη, για τη γενική περίπτωση Α+Β+Γ=ν (ν≥0) θα μπορούσε να διατυπωθεί επαγωγικά ως εξής: Έστω ότι Α≥Β≥Γ≥0 και φ(Α,Β,Γ)=ΑΒΓ+ΑΒ+ΑΓ+ΒΓ. Η υπόθεση που θέλουμε να αποδείξουμε είναι η εξής: Αν ν=0mod3, τότε έχουμε maxφ για Α=Β=Γ=ν/3 Αν ν=1mod3, τότε έχουμε maxφ για Α=ceiling(ν/3) και Β=Γ=floor(ν/3) Αν ν=2mod3, τότε έχουμε maxφ για Α=Β=ceiling(ν/3) και Γ=floor(ν/3) Η υπόθεση εύκολα επιβεβαιώνεται για τις στοιχειώδεις περιπτώσεις ν=0,1,2 ή ν=3,4,5 Δεχόμενοι τώρα ότι ισχύει για οποιοδήποτε ν≥0, εύκολα αποδεικνύουμε ότι ισχύει και για ν+1, αφού με Α≥Β≥Γ θα είναι: (Α+1)ΒΓ+(Α+1)Β+(Α+1)Γ+ΒΓ ≤ Α(Β+1)Γ+Α(Β+1)+ΑΓ+(Β+1)Γ ≤ ΑΒ(Γ+1)+ΑΒ+Α(Γ+1)+Β(Γ+1) Αυτό δείχνει ότι σε κάθε αύξηση του ν κατά 1, το νέο μέγιστο επιτυγχάνεται όταν την προστιθέμενη μονάδα την παίρνει ο μικρότερος ακέραιος. Επομένως για ν=10≡1mod3, θα είναι Α=4, Β=Γ=3 και maxφ=69
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑπό την ισότητα:
ΑπάντησηΔιαγραφή(Α+1)(Β+1)(Γ+1)=ΑΒΓ+ΑΒ+ΑΓ+ΒΓ+Α+Β+Γ+1, και με δεδομένο ότι Α+Β+Γ=10, προκύπτει:
ΑΒΓ+ΑΒ+ΑΓ+ΒΓ=(Α+1)(Β+1)(Γ+1)-11.
Οι 3 αριθμοί (Α+1), (Β+1), (Γ+1), έχουν σταθερό άθροισμα (13), επομένως το γινόμενο τους μεγιστοποιείται όταν αυτοί γίνουν ίσοι, και δεδομένου ότι είναι ακέραιοι, όταν πάρουν τις τιμές 4,4 και 5.
Αρα η ζητούμενη παράσταση μεγιστοποιείται για τιμές των Α,Β, Γ ίσες με 3,3 και 4, παίρνοντας τη τιμή 69
Μπράβο Στράτο, πολύ ωραία λύση!
ΑπάντησηΔιαγραφήΜια εναλλακτική λύση / απόδειξη, για τη γενική περίπτωση Α+Β+Γ=ν (ν≥0) θα μπορούσε να διατυπωθεί επαγωγικά ως εξής:
Έστω ότι Α≥Β≥Γ≥0 και φ(Α,Β,Γ)=ΑΒΓ+ΑΒ+ΑΓ+ΒΓ.
Η υπόθεση που θέλουμε να αποδείξουμε είναι η εξής:
Αν ν=0mod3, τότε έχουμε maxφ για Α=Β=Γ=ν/3
Αν ν=1mod3, τότε έχουμε maxφ για Α=ceiling(ν/3) και Β=Γ=floor(ν/3)
Αν ν=2mod3, τότε έχουμε maxφ για Α=Β=ceiling(ν/3) και Γ=floor(ν/3)
Η υπόθεση εύκολα επιβεβαιώνεται για τις στοιχειώδεις περιπτώσεις ν=0,1,2 ή ν=3,4,5
Δεχόμενοι τώρα ότι ισχύει για οποιοδήποτε ν≥0, εύκολα αποδεικνύουμε ότι ισχύει και για ν+1, αφού με Α≥Β≥Γ θα είναι:
(Α+1)ΒΓ+(Α+1)Β+(Α+1)Γ+ΒΓ ≤ Α(Β+1)Γ+Α(Β+1)+ΑΓ+(Β+1)Γ ≤ ΑΒ(Γ+1)+ΑΒ+Α(Γ+1)+Β(Γ+1)
Αυτό δείχνει ότι σε κάθε αύξηση του ν κατά 1, το νέο μέγιστο επιτυγχάνεται όταν την προστιθέμενη μονάδα την παίρνει ο μικρότερος ακέραιος.
Επομένως για ν=10≡1mod3, θα είναι Α=4, Β=Γ=3 και maxφ=69
Θανάση, όπως πάντα εξαιρετική η απόδειξη σου!
Διαγραφή