Συγχαρητήρια στο Στράτο για την έξυπνη και ωραία του λύση! Ας μου επιτραπεί μόνο να παραθέσω μια σύντομη απόδειξη για τη μοναδικότητά της: Καταρχήν είναι προφανές ότι οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης πρέπει να είναι θετικές, αφού για κάθε πραγματικό χ το α’ μέλος της είναι πάντα θετικό, ενώ για να είναι και το β’ μέλος θετικό, θα πρέπει αναγκαστικά να είναι χ>0. Από την χ^2+χ^3=κ^2+κ^3, που προκύπτει από το μετασχηματισμό του Στράτου, συνεπάγεται η σχέση: (χ-κ)(χ+κ)=-(χ-κ)(χ^2+χκ+κ^2). Αν λοιπόν χ=κ παίρνουμε την χ^2+100=χ^3, η οποία δίνει την πραγματική λύση χ1=5 και τις συζυγείς μιγαδικές χ2=-2+4i και χ3=-2-4i, ενώ αν χ≠κ η σχέση απλοποιείται σε χ+κ=-(χ^2+χκ+κ^2) ==> χ^2+κ^2+χκ+χ+κ=0, η οποία είναι αδύνατη για οποιεσδήποτε θετικές πραγματικές τιμές χ,κ. Επομένως, η μόνη πραγματική λύση της εξίσωσης είναι η χ=5.
Πράγματι έξυπνη και ωραία η λύση του Στράτου και πολύ χρήσιμη η αναλυτική επεξήγηση-απόδειξη της μοναδικότητας της λύσης, από τον Θανάση. Και τα δικά μου συγχαρητήρια και στους δύο.
Εστω \x^2 +100=k^3, (1)
ΑπάντησηΔιαγραφήΑπό την ισότητα προκύπτει τότε \x^3 -100=k^2 (2)
Προσθέτοντας τις (1) και (2), προκύπτει \x^2+x^3=k^2+k^3.
Θέτοντας x=k, η (1) γίνεται: \x^2+100=x^3, η οποία έχει τη λύση Χ=5
Συγχαρητήρια στο Στράτο για την έξυπνη και ωραία του λύση! Ας μου επιτραπεί μόνο να παραθέσω μια σύντομη απόδειξη για τη μοναδικότητά της:
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαταρχήν είναι προφανές ότι οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης πρέπει να είναι θετικές, αφού για κάθε πραγματικό χ το α’ μέλος της είναι πάντα θετικό, ενώ για να είναι και το β’ μέλος θετικό, θα πρέπει αναγκαστικά να είναι χ>0.
Από την χ^2+χ^3=κ^2+κ^3, που προκύπτει από το μετασχηματισμό του Στράτου, συνεπάγεται η σχέση: (χ-κ)(χ+κ)=-(χ-κ)(χ^2+χκ+κ^2).
Αν λοιπόν χ=κ παίρνουμε την χ^2+100=χ^3, η οποία δίνει την πραγματική λύση χ1=5 και τις συζυγείς μιγαδικές χ2=-2+4i και χ3=-2-4i, ενώ αν χ≠κ η σχέση απλοποιείται σε χ+κ=-(χ^2+χκ+κ^2) ==> χ^2+κ^2+χκ+χ+κ=0, η οποία είναι αδύνατη για οποιεσδήποτε θετικές πραγματικές τιμές χ,κ.
Επομένως, η μόνη πραγματική λύση της εξίσωσης είναι η χ=5.
Πράγματι έξυπνη και ωραία η λύση του Στράτου και πολύ χρήσιμη η αναλυτική επεξήγηση-απόδειξη της μοναδικότητας της λύσης, από τον Θανάση.
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαι τα δικά μου συγχαρητήρια και στους δύο.
Γεια σου Ευθύμη, να 'σαι καλά!
ΔιαγραφήΓεια σου Θανάση, να 'σαι και εσύ καλά!
Διαγραφή