Έστω ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$, με $\angle{B}=90^0$. Αν $BD$ το ύψος και $P, Q$ και $I$ είναι τα έγκεντρα των τριγώνων $ ABD, CBD$ και $ABC$ αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι το περίκεντρο του τριγώνου $PIQ$ βρίσκεται επί της υποτείνουσας $AC$.
India Mathematical Olympiad 2015
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com 
Αν ρ1,ρ2 και ρ3 οι ακτίνες των εγγεγραμμένων κύκλων στα τρίγωνα ABC, ABD και CDB αντίστοιχα, τότε από γνωστή άσκηση της γεωμετρίας της οποίας η απόδειξη παραλείπεται στη παρούσα λύση, ισχύει ότι αυτές αποτελούν πλευρές ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα την ρ1. Έστω Ρ1 και Ρ2 τα ίχνη του Ρ στις ΑD, AB, επίσης Q3,Q1 τα ίχνη του Q στις CB, CD και Ι1,Ι2,Ι3 τα ίχνη του Ι στις AC, AB και BC. Τα τρίγωνα II3Q=QI1I άρα και οι γωνίες II3Q=QI1I. Οι γωνίες II3Q=I3QQ3 σαν εντώς εναλλάξ ομοίως και οι II1Q=I1QQ1 άρα οι QI3 και QQ1 είναι αντικείμενες. Από το τελευταίο προκύπτει ότι η γωνία I1QQ1=C λόγω του ότι έχουν τις πλευρές τους κάθετες άρα το τρίγωνο QQ1I1 σαν αυτό που αναφέρθηκε στην αρχή της λύσης άρα QI1=ρ1. Ομοίως δουλεύουμε στο τρίγωνο ABD και τελικά καταλήγουμε στο ότι PI1=II1=QI1=ρ1 άρα το Ι1 είναι και το ζητούμενο σημείο!
ΑπάντησηΔιαγραφή