Πέμπτη 8 Ιανουαρίου 2015

Ύπαρξη

Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί $m$ και $n$ τέτοιοι ώστε: 
\[ \frac{m}{n}=\sqrt[3]{\sqrt{50}+7}-\sqrt[3]{\sqrt{50}-7}. \]
Malaysia National Olympiad 2010
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
Αναρτήθηκε από στις 8.1.15
Ετικέτες ,

3 σχόλια:

  1. Unknown8 Ιανουαρίου 2015 στις 8:10 μ.μ.

    Αν x= η πρώτη κυβική ριζα και ψ=η δεύτερη κυβική ρίζα θα υπολογισω το χ-ψ με τη βοήθεια του τύπου χ^3-ψ^3=(χ-ψ)(χ^2+χψ+ψ^2)=(χ-ψ)[(χ-ψ)^2+3χψ] Είναι εύκολο να υπολογίσουμε χψ=1 και χ^3-ψ^3=14 και επομένως 14=(χ-ψ)^3+3(χ-ψ) ή (χ-ψ)^3+3(χ-ψ)-14=0 . Αν θέσουμε χ-ψ=ω ή εξίσωση έχει ως λύση το ω=2 και τις λύσεις της εξίσωσης ω^2+2ω+7=0 οι οποίες είναι μιγαδικές συζυγείς .Τελικα υπάρχει m=2 και n=1 τέτοιο ώστε m/n=χ-ψ

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. papadim9 Ιανουαρίου 2015 στις 11:23 π.μ.

      Πολύ όμορφη προσέγγιση, λιτή και απέριττη!
      Μπράβο Agnessa!!

      Διαγραφή
  2. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ8 Ιανουαρίου 2015 στις 9:14 μ.μ.

    Και όλοι οι $m=2n, n=1,2,3,...$

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)