Να λυθεί το σύστημα:
\[ \begin{cases}\log_{10}(2xy) =\log_{10}(x)\cdot\log_{10}(y)\\ \log_{10}(yz) =\log_{10}(y)\cdot\log_{10}(z)\\ \log_{10}(2zx) =\log_{10}(z)\cdot\log_{10}(x)\end{cases} \]
Revista Matematica (Titu Andreescu)
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Ιδέα δεν είχα από αυτά που γράφω, που να θυμάσαι μετά από σχεδόν $40$ χρόνια, αλλά πειραματιζόμενος στην Βολφραμάλφα κατέληξα στα παρακάτω για την ορθότητα των οποίων δεν είμαι και σίγουρος. Γιαυτό θα ήθελα την διάψευση ή επιβεβαίωση της λύσης από τους, πολύ καλούς ,μαθηματικούς του $eisatopon$
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο δοθέν σύστημα γράφεται:
$ \begin{cases}log_{10}2+log_{10}x+log_{10}y=log_{10}x.log_{10}y& \\log_{10}y+log_{10}z=log_{10}y.log_{10}z & \\log_{10}2+log_{10}z+log_{10}x=log_{10}z.log_{10}x & \end{cases}\Rightarrow $
Θέτω $log_{10}x=a, \ \ log_{10}y=b, \ \ log_{10}z=c$
και το σύστημα γίνεται
$ \begin{cases}log_{10}(2)+a+b=a.b & \\ b+c=b.c & \\log_{10}(2)+a+c=a.c
& \end{cases} \Rightarrow $
επιλύοντας παίρνουμε τις λύσεις
$a=-log_{10}(2), \ b=0, \ c=0 \ \ \ \ (1)$
$(a=log_{10}(2)+2, \ b=2, \ c=2) \ \ \ \ (2)$
Η λύση $(1)$ μας δίνει:
$log_{10}(x)=-log_{10}(2) \Rightarrow x=\dfrac{1}{2}$
$log_{10}(y)=log_{10}(z)=0 \Rightarrow y=z=1$
H λύση $(2)$ μας δίνει
$log_{10}x= log_{10}2+2 \Rightarrow x=200$
$log_{10}y=log_{10}z=2 \Rightarrow y=z=100$
Υ.Γ Πώς θα μπορώ να βάζω την $.$ (πολλαπλασιασμός) στην μέση πχ $a.b$
Y.Γ Η ερώτηση για την ορθότητα ή μη της λύσης αφορά κυρίως την πληρότητα της λύσης (αν μου έχουν διαφύγει λύσεις ή όχι) και δευτερευόντως στις δύο λύσεις που έχω ...συλλάβει. :-)
ΔιαγραφήΣυνήθως χρησιμοποιώ το \cdot για τον πολλαπλασιασμό
ΔιαγραφήΩραία, μου κάνει. Και πάλι ευχαριστώ.
ΔιαγραφήΚαι μια γενικότερη ερώτηση.
Υπάρχει κάποια διεύθυνση στο διαδίκτυο που να έχει οδηγίες για την χρήση συμβόλων του Latex, ει δυνατόν στα ελληνικά;
Το "ελληνικά" είναι λίγο περιοριστικό. Να κάτι εισαγωγικό που ίσως βοηθήσει: https://mathbooksgr.wordpress.com/2011/12/11/%CE%B5%CE%B9%CF%83%CE%B1%CE%B3%CF%89%CE%B3%CE%AE-%CF%83%CF%84%CE%BF-latex2%CE%B5/
ΔιαγραφήΚι άλλο ένα: http://plaza.ufl.edu/thanos/Text%20Files/latex-manual-final.pdf
ΔιαγραφήΠολύ ωραία. Θερμά σε ευχαριστώ.
ΔιαγραφήOι πιο πάνω λύσεις Ευθύμη είναι και οι μοναδικές, σύμφωνα με τη λύση που δίνει ο Titu Andreescou. Η πρώτη εξίσωση μπορεί να πάρει τη μορφή λογ20=(λογχ-1)(λογψ-1) ή δεύτερη τη μορφή 1=(λογψ-1)(λογζ-1) και η τρίτη τη μορφή λογ20=(λογχ-1)(λογζ-1). Πολλαπλασιάζοντας τις πιο πάνω εξισώσεις και παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα πάιρνουμε τις εξισώσεις (λογχ-1)(λογψ-1)(λογζ-1) =λογ20 ή -λογ20 ή λογχ-1=+1 ή -1 και από τις προηγούμενες εξισώσεις βρίσκουμε λογψ-1=+1 ή -1 και λογζ-1=+λογ20 ή -λογ20. Τελικά οι μοναδικές λύσεις του συστήματος είναι (1/2,0,0) και (200,100,100).
ΔιαγραφήΩραιότατα. $Agnessa$, σ' ευχαριστώ
ΑπάντησηΔιαγραφή