$2.$ Με κορυφές από τις κορυφές ενός κύβου,πόσες διαφορετικές πυραμίδες τριγωνικής βάσης μπορούν να σχηματιστούν;
Σάββατο 1 Νοεμβρίου 2014
CombinatoriΧ
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
190 Αποδείξεις του Πυθαγορείου θεωρήματος
Επισκεφτείτε το Eisatopon στο Twitter X
Επισκεφτείτε το Eisatopon στο Pinterest
Desmos Activities
Ultimate AI Math Solver
Photomath
The Ultimate Math Help App
Wikipedia - Mathematics
Google Gemini
OpenAI - Chat GPT
DeepL Translator
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία
Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία
Canadian Mathematical Society (CMS)
The William Lowell Putnam Mathematics Competition (Archive 1985 - 2021)
Art of Problem Solving ONLINE
Leonardo Fibonacci
Kurt Friedrich Gödel
Ευκλείδης
Αρχιμήδης
Leonard Euler
Georg Cantor
Pierre-Simon Laplace
René Descartes
Joseph-Louis Lagrange
Πιερ ντε Φερμά
Gottfried Wilhelm Leibniz
Ζήτημα 1ο
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν δεν υπήρχαν οι περιορισμοί, θα υπήρχαν 5! = 120 διαφορετικές πεντάδες.
Ανάμεσα σε αυτές, σε 4!=24 ο Αντώνης θα έλυνε το πρώτο πρόβλημα και σε 4!=24 η Δήμητρα θα έλυνε το τελευταίο.
Επίσης, σε 3! = 6 πεντάδες ο Αντώνης θα έλυνε το πρώτο και η Δήμητρα το τελευταίο.
Με εφαρμογή της αρχής inclusion – exclusion, οι πεντάδες που απομένουν είναι:
120-2*24+6 = 78
Οι 8 κορυφές ενός κύβου συνδυάζονται ανά 4 με C(8,4)=70 τρόπους. Σε 6 από αυτούς, οι 4 κορυφές βρίσκονται στην ίδια έδρα του κύβου και σε άλλους 6 βρίσκονται στο ίδιο διαγώνιο / διχοτόμο του κύβου επίπεδο. Οι περιπτώσεις αυτές δεν δίνουν τετράεδρο. Επομένως, μπορούν να σχηματιστούν 70-12=58 τετράεδρα.
ΑπάντησηΔιαγραφήPapadim, ως συνήθως...άψογος!
ΑπάντησηΔιαγραφήΕυχαριστώ Γιώργη! Τα θέματά σου ως συνήθως ...νοστιμότατα!
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτο 1, τι γίνεται όμως αν και η Ελένη δεν ήθελε να λύσει το τρίτο;
ΑπάντησηΔιαγραφήEίναι ρητορική ή κανονική η ερώτηση; :-)
ΔιαγραφήΕίναι κανονική Γιώργη, για όσους τυχόν θα ήθελαν να δοκιμαστούν σε μια πιο απαιτητική εφαρμογή της αρχής. Σε αυτούς δεν περιλαμβάνεσαι προφανώς εσύ, βασικός εισαγωγέας της μεθόδου εις την ημεδαπή! :-). Αποτελείς exclusion.
ΑπάντησηΔιαγραφήOk. Μπαίνει λοιπόν σαν υποερώτημα 1.β η ερώτηση του Θανάση: "Τι γίνεται αν ,εκτός του Αντώνη και της Δήμητρας ,και η Ελένη δεν θέλει να λύσει το 3ο πρόβλημα; "
Διαγραφή(Μου θυμίζει κάτι αριθμούς μικρότερους από ξέρω γω το 666 που δεν διαιρούνται με το 5, το 7, και το 12 inclusive αυτό... :-)
Μία απλή διαδοχή σκέψεων είναι η εξής:
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν δεν υπήρχαν οι περιορισμοί Αντώνη και Δήμητρας, η Ελένη θα έλυνε το κάθε πρόβλημα σε 4!=24 πεντάδες.
Με τον περιορισμό του Αντώνη (που δεν λύνει το πρώτο πρόβλημα), οι πεντάδες στις οποίες η Ελένη λύνει το πέμπτο πρόβλημα, μειώνονται από 24 σε 18 (αφαιρούνται δηλαδή οι 3!=6 πεντάδες, όπου ο Αντώνης θα έλυνε το πρώτο και η Ελένη το πέμπτο πρόβλημα).
Ομοίως, με το περιορισμό της Δήμητρας, που δεν λύνει το πέμπτο πρόβλημα, οι πεντάδες της Ελένης στις οποίες λύνει το πρώτο πρόβλημα, μειώνονται επίσης σε 18.
Απομένουν 78-18-18=42 πεντάδες στις οποίες ισχύουν οι περιορισμοί του Αντώνη και της Δήμητρας και στις οποίες η Ελένη λύνει κάποιο από τα προβλήματα 2, 3 ή 4.
Λόγω συμμετρίας, η κάθε περίπτωση (επίλυση προβλήματος 2, 3 ή 4), εμφανίζεται σε 42/3=14 πεντάδες.
Επομένως, ο περιορισμός της Ελένης, να μη λύσει το πρόβλημα 3, μειώνει τις πεντάδες σε 78-14=64
Στράτο, ωραίος!
ΔιαγραφήΉ (για να είναι και η λύση exclusively inclusive στα γούστα του Θανάση :-) )με την Αρχή Συμπερίληψης-Εξαίρεσης (Inclusion-exclusion) η Ένωση των τριών γεγονότων ισούται με τα 3 αθροίσματα των συνόλων μείον τις τομές ανά δύο σύν την τομή των τριών.
5!-4!-4!-4!+3!+3!+3!-2!=64
Άψογα Στράτο, πολύ ωραία η εναλλακτική σου προσέγγιση!
ΑπάντησηΔιαγραφήΠεριληπτική - εξαιρετική φυσικά και η λύση σου Γιώργο!
Να προσθέσω μόνο ότι σε περίπτωση που δύο ή περισσότεροι από τους μαθητές δε θέλουν να λύσουν ένα και το ίδιο θέμα, τότε οι εφικτές πεντάδες προκύπτουν μόνο από exclusion και όχι inclusion, αφού οι μη επιτρεπτές πεντάδες έχουν ένωση, αλλά όχι τομή ως αλληλοαποκλειόμενες. Π.χ. αν τόσο ο Αντώνης όσο και η Δήμητρα δεν ήθελαν να λύσουν το πρώτο πρόβλημα, τότε οι δυνατές πεντάδες θα ήταν 5! - 2*4! = 72 και όχι 78 όπως στο αρχικό ερώτημα.
Περισσότερο ενδιαφέρον όμως, σε σχέση με τις ενώσεις και τις τομές των ενδεχομένων, έχουν οι μικτές περιπτώσεις, π.χ. τι γίνεται αν ο Αντώνης και η Δήμητρα δε θέλουν να λύσουν το πρώτο και η Ελένη δε θέλει να λύσει το τρίτο. Αλλά αυτό το ερώτημα ας μείνει ρητορικό :-), εκτός κι αν κάποιος ....
Νομίζω ότι και αυτή η περίπτωση μπορεί να λυθεί με ανάλογη προσέγγιση.
ΔιαγραφήΟι 4!=24 πεντάδες στις οποίες η Ελένη λύνει το πρώτο πρόβλημα παραμένουν ανεπηρέαστες από το γεγονός ότι ο Αντώνης και η Δήμητρα δεν το λύνουν. Απομένουν επομένως 72-24=48 πεντάδες στις οποίες η Ελένη λύνει κάποιο από τα 4 άλλα προβλήματα με τον Αντώνη και τη Δήμητρα να μη λύνουν το πρώτο. Λόγω συμμετρίας, η κάθε περίπτωση εμφανίζεται 48/4=12 φορές, δηλαδή σε 12 πεντάδες η Ελένη λύνει ένα από τα προβλήματα 2,3,4 ή 5, με Αντώνη και Δήμητρα να μη λύνουν το πρώτο.
Αρα, απομένουν 72-12=60 πεντάδες στις οποίες Αντώνης και Δήμητρα δεν λύνουν το πρώτο και Ελένη το τρίτο.
Θανάση, νομίζω ότι η αναλυτική προσέγγιση που επικαλούμαι, εφθασε στα όρια της. Για πιο πολύπλοκες καταστάσεις νομίζω ότι μόνο με exclusion/inclusion προσέγγιση θα μπορούσαμε να δουλέψουμε. π.χ., αν το πρόβλημα ήταν "Ο Αντώνης δεν θέλει να λύσει το πρώτο και είτε η Δήμητρα δεν θέλει να λύσει το πέμπτο, είτε η Ελένη και η Γιάννα δεν θέλουν να λύσουν ένα από τα 2, ή 3", δεν νομίζω ότι μπορεί εύκολα να λυθεί αναλυτικά.
ΔιαγραφήΚαι πάλι άψογος Στράτο!!
ΑπάντησηΔιαγραφήΜε την inclusion-exclusion θα είχαμε:
5! - 3*4! + 2*3! = 120 - 72 + 12 = 60
Οι εξαιρέσεις (-) είναι οι πεντάδες όπου ο Αντώνης ή η Δήμητρα λύνουν το πρώτο ή η Ελένη λύνει το τρίτο και οι συμπεριλήψεις (+) είναι οι πεντάδες όπου ο Αντώνης λύνει το πρώτο και η Ελένη το τρίτο ή η Δήμητρα λύνει το πρώτο και η Ελένη το τρίτο.