(Quantum - V.Y. Protasov)
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
190 Αποδείξεις του Πυθαγορείου θεωρήματος
Επισκεφτείτε το Eisatopon στο Twitter X
Επισκεφτείτε το Eisatopon στο Pinterest
Desmos Activities
Ultimate AI Math Solver
Photomath
The Ultimate Math Help App
Wikipedia - Mathematics
Google Gemini
OpenAI - Chat GPT
DeepL Translator
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία
Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία
Canadian Mathematical Society (CMS)
The William Lowell Putnam Mathematics Competition (Archive 1985 - 2021)
Art of Problem Solving ONLINE
Leonardo Fibonacci
Kurt Friedrich Gödel
Ευκλείδης
Αρχιμήδης
Leonard Euler
Georg Cantor
Pierre-Simon Laplace
René Descartes
Joseph-Louis Lagrange
Πιερ ντε Φερμά
Gottfried Wilhelm Leibniz
Ενα πιθανό σύνολο είναι οι πρώτοι 1998 περιττοί αριθμοί (1,3,5,7....). Κανένας περιττός δεν μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα δύο άλλων περιττών. Οπότε ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 1998*2-1=3995
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο σύνολο $(1,3,5,7,...,3995)$ είναι σύνολο $1998$ διαδοχικών περιττών αριθμών, όπου κανένας δεν μπορεί να εκφρασθεί ως άθροισμα δύο άλλων αριθμών του συνόλου καθώς περιττός +περιττός = άρτιος αριθμός
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο σύνολο {1997, 1998, 1999, …. , 3994} έχει 1998 διαδοχικούς φυσικούς και επίσης κανένας τους δεν προκύπτει ως άθροισμα δύο άλλων. Μέγιστος ο 3994.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠολύ καλό Θανάση!!!
ΔιαγραφήΕυχαριστώ Στράτο. Παραθέτω και ένα σκεπτικό, για την περίπτωση διαδοχικών φυσικών:
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν ο ελάχιστος φυσικός του συνόλου είναι ο ν, τότε, για να μην προκύπτει κανένας αριθμός ως άθροισμα δύο άλλων, πρέπει (και αρκεί) το ελάχιστο άθροισμα δύο μελών του συνόλου να είναι μεγαλύτερο του μέγιστου φυσικού του συνόλου.
Δηλαδή πρέπει:
ν+(ν+1) > ν+1997 ==> ν > 1996 ==> ν=1997 ο ελάχιστος και ν+1997=3994 ο μέγιστος φυσικός του συνόλου.
Συμφωνώ με την ανάλυση που παραθέτεις Θανάση, και σαφώς η λύση που προτείνεις είναι η βέλτιστη για τη περίπτωση όπου οι αριθμοί είναι διαδοχικοί.
ΔιαγραφήΠαρ'ότι πιστεύω ότι αυτή είναι η σωστή λύση, αναρωτιέμαι αν θα μπορούσε να αποδειχθεί θεωρητικά ότι δεν υπάρχει άλλη λύση (δηλαδή λύση με μη διαδοχικούς αριθμούς), που να καταλήγει σε μικρότερο μέγιστο αριθμό.
Στράτο, πάν σ'αυτό αν θεωρήσουμε πως μπορεί να υπάρξει μικρότερος μέγιστος από το 3994 και έστω v < ή ίσος με 3993 αυτός ο αριθμός ,αν χωρίσεις το σύνολο σε ζεύγη (1, ν-1), (2-ν-2),...κ.λ.π. άθροισμα σε καθε παρένθεση =ν.
ΑπάντησηΔιαγραφήΥπάρχουν 1997 τέτοια ζευγαράκια. Όμως το σύνολό μας περιέχει ακριβώς 1997 διαφορετικού αριθμούς μικρότερους του ν.
Από Περιστερώνα λοιπόν τουλάχιστον 2 ανήκουν στο ίδιο ζεύγος και έχουν άθροισμα ν. Άτοπο.
Ήμουνα ίσως λίγο υπέρ το δέον βιαστικός και ενδεχομένως ασαφής.
ΔιαγραφήΕννοούσα πως υπάρχουν ΤΟ ΠΟΛΥ ν/2 <3994/2=1997 τέτοια ζεύγη.Όμως το σύνολό μας περιέχει ακριβώς 1997 διαφορετικού αριθμούς ... (τα υπόλοιπα ως έχουν αποπάνω. :-) )
Πολύ ωραίο το επιχείρημα του περιστερώνα και μπράβο Γιώργη!
ΑπάντησηΔιαγραφήΜια διαφορετική διατύπωση της απόδειξης, που νομίζω ότι αποδίδει την ίδια ουσία θα μπορούσε να είναι η εξής:
Αν αφαιρούσαμε από το σύνολο {1997, 1998, 1999, … , 3994} μόνο τον μέγιστο 3994, τότε μέγιστος θα γινόταν ο 3993 και, για να παραμείνει 1998 ο πληθάριθμος του συνόλου, θα έπρεπε να προστεθεί στο σύνολο, ένας ακόμα φυσικός, από το εύρος 1 έως 1996 (1996 επιλογές). Αφού όμως στο αρχικό σύνολο θα παρέμεναν όλοι οι φυσικοί από 1997 έως 3993, τότε ο νεοεισερχόμενος αριθμός προστιθέμενος με κάποιον από τους προϋπάρχοντες θα έδινε οπωσδήποτε άθροισμα 3993, αφού:
1+3992 = 2+3991 = 3+3990 =….= 1996+1997 = 3993
Αν αφαιρούσαμε από το αρχικό σύνολο και τον 3993, τότε θα έπρεπε να προστεθεί άλλος ένας (1995 επιλογές), αλλά πλέον θα είχαμε ανάλογο πρόβλημα με τον 3992 και μετά με τον 3991, τον 3990 κ.ο.κ.
Για να μην υπάρχει τελικά πρόβλημα, θα έπρεπε από το αρχικό σύνολο να αφαιρεθούν και οι 1998 αρχικοί φυσικοί, αλλά ακόμα και χωρίς έλεγχο αθροισμάτων των αντικαταστατών τους, οι επιλογές αντικατάστασης είναι μόνο 1996. Αδύνατο.