Το Σμαράγδι

Στο σημερινό πρόβλημα έκανα μια τροποποίηση, σε σχέση με το αρχικό πρόβλημα, λόγω του ότι τα ποσά των χρυσών νομισμάτων των δύο εμπόρων ήταν δεκαδικοί αριθμοί. 

--------

∆ύο έμποροι, ο Κ. Γεωργίου και ο Γ. Δημητρίου, διεκδικούν να αγοράσουν ένα σμαράγδι, του οποίου η αξία ανέρχεται στις 10.000 χρυσά νομίσματα.

Ο Κ. Γεωργίου λέει στον Γ. Δημητρίου: 

-«∆άνεισε μου το 1/5 των χρημάτων σου για να μπορέσω να αγοράσω το σμαράγδι.»

Ο Γ. Δημητρίου του απαντά: 

-«Όχι, δάνεισε μου εσύ το 1/3 των χρημάτων σου, ώστε να μπορέσω να αγοράσω το σμαράγδι και θα μου περισσέψουν και δύο χρυσά νομίσματα.» 

Πόσα χρήματα είχε ο κάθε έμπορος; 

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/05/blog-post_6144.html

Λύση: 

Ο Κ. Γεωργίου είχε 8.571 χρυσά νομίσματα και ο Γ. Δημητρίου είχε 7.145 χρυσά νομίσματα.  Έστω «X» τα χρυσά νομίσματα του Κ. Γεωργίου και «Z» τα χρυσά νομίσματα του Γ. Δημητρίου. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
X+Z/5 =10.000 (1)
Z+X/3=10.002 (2)

Από την (1) συνάγουμε ότι:

X+Z/5=10.000 ---> 5Χ+Ζ=50.000 ---> Ζ=50.000-5Χ (3)

Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:

Z+X/3=10.002 ---> 50.000-5Χ+Χ/3=10.002 ---> 3*50.000-3*5Χ+Χ=3*10.002 --->

150.000-15Χ+Χ=30.006 ---> 14Χ=150.000-30.006 ---> 14Χ=119.994 ---> Χ=119.994/14 --->  

Χ=8.571 (4)

Αντικαθιστούμε τη (4) στη (3) κι’ έχουμε:

Ζ=50.000-5Χ ---> Ζ=50.000-5*8.571 ---> Ζ=50.000-42.855 ---> Ζ=7.145 (5)

Επαλήθευση:

X+Z/5 =10.000 ---> 8.571+7.145/5=10.000 ---> 8.571+7.145/5=10.000 --->

8.571+1.429=10.000 Z+X/3=10.002 ---> 7.145+8.571/3=10.002 ---> 7.145+2.857=10.002   ο.ε.δ.