Εμβαδόν = Περίμετρος;

Το ορθογώνιο τρίγωνο Α Β Γ με ακέραια μήκη πλευρών 5, 12, και 13, μονάδων μήκους παρουσιάζει την ιδιομορφία ότι το εμβαδόν του ισούται με την περίμετρο του. 

Πόσα ορθογώνια τρίγωνα με ακέραια μήκη πλευρών με την ίδια ιδιότητα υπάρχουν;

Mathematics Magazine 40(1967), πρόβλημα 644, H. L.Umansky

Λύση:

Αν α, β τα μήκη των καθέτων πλευρών και γ το μήκος της υποτείνουσας του ζητούμενου τριγώνου, θα ισχύει:

Η περίμετρος ισούται με:Π=α+β+γ

Το εμβαδόν ισούται με:Ε=1/2(αβ)

Π=Ε --> α+β+γ=1/2*αβ --> -γ=α+β-1/2*αβ

Υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο κι’ έχουμε:

-γ=α+β-1/2*αβ --> (-γ)²=(α+β-1/2*αβ)² --> (γ)²=(α+β-1/2*αβ)²

Βάσει του Πυθαγορείου Θεωρήματος έχουμε:

(ΑΓ)²=(ΑΒ)²+(ΑΓ)² --> γ²=α²+β²

Αντικαθιστούμε το(γ²) με το ίσον του κι’ έχουμε:

(γ)²=(α+β-1/2*αβ)² --> α²+β²=(α+β-1/2*αβ)² -->   
α²+β²= α²+β²+1/4*α²β²+2*αβ-α²β-αβ² -->

α²+β²-α²-β²+1/4*α²β²+2*αβ-α²β-αβ² =0--> 
1/4*α²β²+2*αβ-α²β-αβ² =0-->

Βγάζουμε κοινό παράγοντα το (αβ) κι’ έχουμε:

αβ(1/4*αβ+2-α-β)=0  (αβ διάφορο του μηδενός)

Διαιρούμε δια (αβ) κι’ έχουμε:

αβ(1/4*αβ+2-α-β)/αβ=0 --> 1/4*αβ+2-α-β=0 --> 
αβ+2*4-4*α-4*β=0 -->

Προσθέτουμε και στα δύο μέλη τον αριθμό 8 κι’ έχουμε:

αβ+2*4-4*α-4*β=0 --> αβ+2*4-4*α-4*β+8=8 -->  αβ-4*α+16-4*β=8 -->

α(β-4)+16-4β=8 --> α(β-4)-4β-16=8 --> α(β-4)-4(β-4)=8 --> 
(β-4)*(α-4)=8 --> (β-4)=8/(α-4)

Άρα (α – 4) είναι διαιρέτης του 8 οπότε οι πιθανές τιμές του «α» είναι :2,3,5,6,8,12

Ελέγχουμε κάθε περίπτωση υπολογίζοντας τα «α» και «β» και διαπιστώνουμε ότι 
οι μόνες λύσεις είναι οι τριάδες:

(6,8,10) ως προς το  Πλάτωνα.

(5,12,13).ως προς το Πυθαγόρα.

Επαλήθευση:

Π=Ε --> α+β+γ=1/2*αβ ---> 6+8+10=1/2(6*8) ---> 24=48/2

Π=Ε --> α+β+γ=1/2*αβ ---> 5+12+13=1/2(5*12) ---> 30=60/2