Η Συγκέντρωση

Σε μια κοσμική συγκέντρωση κατά του αλκοολισμού παραβρέθηκαν 150 άνδρες και 70 γυναίκες. Ο μπάρμαν  ισχυρίστηκε, μετά το τέλος της συγκέντρωσης, ότι καταναλώθηκαν συνολικά 1.110 αναψυκτικά. Επίσης επιβεβαιώθηκε ότι ο κάθε άνδρας κατανάλωσε  τον ίδιο αριθμό  αναψυκτικών με οποιονδήποτε άλλο άνδρα και το ίδιο  ισχύει και για τις γυναίκες. Πόσα αναψυκτικά κατανάλωσε κάθε άνδρας και πόσα αναψυκτικά κατανάλωσε κάθε γυναίκα;

Πηγή

Λύση:

Κάθε άνδρας ήπιε 6 αναψυκτικά και κάθε γυναίκα 3 αναψυκτικά. Έστω «Α» τα αναψυκτικά που κατανάλωσε κάθε άνδρας και «Γ» τα αναψυκτικά που κατανάλωσε κάθε γυναίκα, τότε θα ισχύει:

150Α+70Γ=1.110

Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το 10, κι’ έχουμε:

150Α+70Γ=1.110 ---> 150Α/10+70Γ/10=1110/10  ----> 15Α+7Γ=111 (1).

Από την (1) βλέπουμε ότι εφόσον το 111 και το 15Α πολλαπλάσια του 3, τότε και το 7Γ είναι πολλαπλάσιο του 3, δηλαδή, Γ πολλαπλάσιο του 3. Έτσι Γ=3Μ , για Μ κάποιο φυσικό αριθμό η (1) γίνεται:

15Α+7Γ=111 ---> 15Α+7(3Μ)=111 ---> 15Α+21Μ=111

Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το 10, κι’ έχουμε:

15Α+21Μ=111 ---> 15Α/3+21Μ/3=111/3 ---> 5Α+7Μ=37 (2)

Από την (2) λαμβάνοντας υπόψη ότι Α, Μ φυσικοί αριθμοί προκύπτει: 0≤Μ<5, οπότε Μ=1,2,3,4,5

Η μοναδική τιμή του Μ που δίνει ακέραια τιμή για το Α είναι Μ=1 (3)

Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:

5Α+7Μ=37 ---> 5Α+7*1=37 ---> 5Α+7=37 ---> 5Α=37-7 ---> 5Α=30 ---> Α=30/6 --->

Α=6.

Επαλήθευση:

150Α+70Γ=1.110 ---> [(150*6)+(70*3)]=1.110 ---> 900+210=1.110 ο.ε.δ.