Τέσσερις ψύλλοι βρίσκονται πάνω στο επίπεδο, κεντραρισμένοι στις κορυφές ενός τετραγώνου. Κάθε φορά, ένας ψύλλος μπορεί να πηδήξει πάνω από οποιονδήποτε άλλον ψύλλο (αυτός παραμένει ακίνητος), και να προσγειωθεί στο συμμετρικό του-ως προς τον δεύτερο-σημείο. Μπορεί μετά από μια σειρά τέτοιων κινήσεων/αλμάτων να προκύψει ένα μεγαλύτερο τετράγωνο; Δείξτε τον τρόπο με τον οποίον μπορεί να γίνει αυτό, ή δείξτε πως είναι αδύνατον.
Αν υπήρχε τέτοια διαδικασία / σειρά βημάτων που να οδηγεί από ένα τετράγωνο δεδομένης πλευράς σε ένα τετράγωνο μεγαλύτερης πλευράς, τότε η ακριβώς αντίστροφή της σειρά βημάτων θα έπρεπε να οδηγεί από ένα τετράγωνο δεδομένης πλευράς σε ένα τετράγωνο μικρότερης πλευράς. Δεδομένου όμως ότι σε κανένα βήμα της διαδικασίας αυτής, αλλά και της αντίστροφής της, η απόσταση μεταξύ δύο οποιωνδήποτε ψύλλων δεν μπορεί να γίνει μικρότερη από την πλευρά του αρχικού τετραγώνου, η αντίστροφη διαδικασία δεν είναι εφικτή. Συνεπώς, αφού δεν μπορούμε να φτιάξουμε τετράγωνο μικρότερο από το αρχικό, δεν μπορούμε να φτιάξουμε ούτε και μεγαλύτερο.
ΑπάντησηΔιαγραφήΜετά από παρότρυνση του Θανάση, παραθέτω κι εγώ την απάντηση που είχα ετοιμάσει, αλλά δεν πρόλαβα να τη στείλω πριν από το Θανάση:
ΑπάντησηΔιαγραφή"Ενδιαφέρον πρόβλημα. Η πρώτη σκέψη που κάνω είναι ότι αν μπορεί να προκύψει μεγαλύτερο τετράγωνο τότε με τις αντίστροφες κινήσεις μπορεί να προκύψει μικρότερο τετράγωνο. Να δημιουργηθεί όμως μικρότερο τετράγωνο φαίνεται αδύνατο, καθώς αν οι ψύλλοι τοποθετηθούν σε σύστημα συντεταγμένων στα σημεία (0,0), (1,0), (0,1) και (1,1) δεν υπάρχει τρόπος να βρεθεί κάποιος ψύλλος σε μη ακέραιες συντεταγμένες."
Ο Σωτήρης ανέφερε την παρότρυνσή μου, αλλά όχι και το συνοδευτικό της σχόλιο, ότι δηλαδή η δική του απάντηση κάνει ακόμα πιο σαφές και συγκεκριμένο το επιχείρημα περί αδυνάτου.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣωστά, Σωτήρη και Θανάση!
ΑπάντησηΔιαγραφήΜε αλγεβρική ορολογία, η πράξη είναι αντιστρέψιμη και η προσθετική υποομάδα (γνήσιο υποσύνολο του R^2) στην οποία ανήκουν τα στοιχεία είναι κλειστή ως προς την πράξη. Δηλαδή το αποτέλεσμα των μετασχηματισμών παραμένει "εντός " του αρχικού συνόλου, στην περίπτωσή μας το επίπεδο των ακεραίων(latice points) (Z^2).
Oμοίως και για ψύλλους σε τρίγωνο. Kάθε κίνηση θα άφηνε το εμβαδό του τριγώνου αμετάβλητο. Αυτό βέβαια, το συμπεραίνει κανείς εύκολα κι από το γεγονός πως μια οποιαδήποτε βάση τριγώνου πάει "βόλτα" όσο μακριά θέλουμε, χωρίς να αλλάζει το μέτρο της και το αντίστοιχο ύψος.