Θεώρημα 1ο. (Τύπος του Ήρωνα)
Το εμβαδόν ενός τριγώνου, πλευρών α, β, γ, δίνεται από τη σχέση:
όπου τ είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου:
Θεώρημα 2ο.
Το γινόμενο των τριών πλευρών α, β, γ, τριγώνου ΑΒΓ, δίνεται από τη σχέση:
Συνεπώς, η ακτίνα R, του περιγεγραμμένου κύκλου δίνεται από τον τύπο:
Θεώρημα 3ο.
Το εμβαδόν κάθε τριγώνου ισούται με το γινόμενο της ημιπεριμέτρου του επί την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου:
Συνεπώς, η ακτίνα ρ, του εγγεγραμμένου κύκλου δίνεται από τον τύπο:
Θεώρημα 4ο.
Το εμβαδόν κάθε τριγώνου ισούται με το γινόμενο της διαφοράς της μιας πλευράς από την ημιπερίμετρο του τριγώνου επί την ακτίνα του παρεγγεγραμμένου κύκλου που αντιστοιχεί σ΄ αυτήν την πλευρά.
Έτσι:
Συνεπώς, οι ακτίνες ρα, ρβ, ργ των παρεγγεγραμμένων κύκλων ενός τριγώνου δίνονται από τις σχέσεις:
Από τα παραπάνω είναι προφανές ότι το εμβαδόν κάθε τριγώνου δίνεται και από τον τύπο:
Ασκήσεις
1. Σε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδειχθούν λογιστικώς οι ισοδυναμίες:
2. Σε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδειχθεί ότι:
3. Να υπολογιστεί το εμβαδό τραπεζίου συναρτήσει των πλευρών του α, β, γ, δ.
4. Να υπολογιστεί το εμβαδό τριγώνου ΑΒΓ συναρτήσει των διαμέσων του μα, μβ, μγ.
5. Να υπολογιστεί το εμβαδό τριγώνου ΑΒΓ συναρτήσει των υψών του υα, υβ, υγ.
6. Σε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδειχθεί η ισοδυναμία:
7. Αν Ζο είναι το κέντρο βάρους τριγώνου ΑΒΓ και Rα, Rβ, Rγ οι ακτίνες των κύκλων ΖοΒΓ, ΖοΓΑ, ΖοΑΒ, να αποδειχθεί ότι:
8. Αν ο εγγεγραμμένος κύκλος σε τρίγωνο ΑΒΓ εφάπτεται των πλευρών ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ αντίστοιχα στα σημεία Α1, Β1, Γ1 να υπολογιστούν τα τμήματα ΑΑ1, ΒΒ1, ΓΓ1 συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ.
Το αυτό, αν Α1, Β1, Γ1 είναι αντίστοιχα τα σημεία επαφής των παρεγγεγραμμένων κύκλων του τριγώνου ΑΒΓ. (Υπόδειξη: Κάντε χρήση της σχέσης Stewart).
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου