Τετάρτη 24 Σεπτεμβρίου 2014

Το Σημείο

Ένα αεροπλάνο απογειώνεται από ένα σημείο της Γης και πετά 100 μίλια νότια μετά 100 μίλια δυτικά και τέλος 100 μίλια βόρεια. Το περίεργο είναι ότι καταλήγει στο ίδιο ακριβώς σημείο απ’ το οποίο ξεκίνησε.
1. Ποιο σημείο της Γης είναι αυτό;
2. Υπάρχει άλλο τέτοιο σημείο;
Πηγή: http://nikos-kritikos.blogspot.gr/2014/09/blog-post_41.html
Αναρτήθηκε από στις 24.9.14
Ετικέτες

5 σχόλια:

  1. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ25 Σεπτεμβρίου 2014 στις 1:15 π.μ.

    Καλημέρα Κάρλο!
    Για το $2$
    Ναι, υπάρχει τέτοιο σημείο από όπου αν κινηθούμε 100 χλμ (γιατί μίλια?) βόρεια, μετά 100 χλμ ανατολικά και τέλος 100 νότια καταλήγουμε στο αρχικό σημείο. Αν μπορεί να προσγειωθεί και να απογειωθεί αεροπλάνο εκεί και από εκεί δεν είμαι σίγουρος. Το σημείο αυτό είναι συμμετρικό ως προς το κέντρο της γης του ζητούμενου σημείου στην ερώτηση $1$ :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ25 Σεπτεμβρίου 2014 στις 7:12 π.μ.

      Όσον αφορά το $1$ εμμέσως πλην σαφώς αναφερόμουν στον Βόρειο Πόλο.
      Όσον αφορά το $2$ αν δεν κάνουμε αντιστοίχηση και των προσανατολισμών $100$ μίλια βόρεια, μετά $100$ μίλια ανατολικά και τέλος $100$ μίλια νότια και κρατήσουμε τα ίδια δεδομένα $100$ μίλια νότια, 100 μίλια δυτικά και $100$ μίλια βόρεια τότε για να ξαναβρεθούμε στο αρχικό σημείο πρέπει όταν το αεροπλάνο θα κάνει την $2$η διαδρομή κινούμενο δυτικά (ή ανατολικά προφανώς το ίδιο είναι) πρέπει, το αεροπλάνο, να διαγράψει κύκλο (παράλληλο του Ισημερινού) περιφέρειας ακριβώς $100$ μιλίων, έτσι που κάνοντας μια περιστροφή να ξαναβρεθεί στην ίδια θέση που ήταν όταν διήνυσε τα $100$ μίλια νότια ή να διαγράψει κύκλο $100/2=50$ μιλίων κάνοντας $2$ περιστροφές ή κύκλο $100/3$ μιλίων κάνοντας $3$ περιστροφές και γενικότερα κύκλο περιφέρειας $100/n$ κάνοντας $n$ περιστροφές.
      Εφόσον η περιφέρεια του κύκλου πρέπει να είναι 100 μίλια για $n=1$ η ακτίνα του κύκλου είναι $r=100/(2\pi) (=15.9154943..) $ μίλια
      Επειδή η ακτίνα $r$ είναι ημιχορδή πολύ μικρού μεγέθους σε σχέση με τα μεγέθη της γης και πολύ κοντά στο ημιτόξο που αντιστοιχεί, τα σημεία του κύκλου απέχουν από το Νότιο πόλο ελάχιστα παραπάνω από $r$, προσεγγιστικά από σχεδιάγραμμα $15.91553...$ (υπολογίζεται βέβαια σωστά με τριγωνομετρία, με εύρεση της γωνίας της οποίας το ημίτονο είναι $(100/(2\pi)/96356.8/1.609)$ (πολική ακτίνα της γης) /(ισοδυναμία στατικού μιλίου-χλμ)
      Συνεπώς τελικά όλα τα σημεία κύκλων που απέχουν από το Νότιο Πόλο (προσεγγιστικά) $(15.91553.../n) +100 μίλια, \ n=1,2,3,..$ είναι τα ζητούμενα σημεία.

      Διαγραφή
    2. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ25 Σεπτεμβρίου 2014 στις 9:43 π.μ.

      Να προσθέσω ότι το $1$ο ερώτημα κυκλοφορεί ευρέως και σε προφορικό και σε γραπτό λόγο το θέμα όμως του $2$ου ερωτήματος το είχα δει σε ένα από τα πρώτα βιβλία με εκλαικευμένα μαθηματικά και φυσική πριν από ενάμισυ και κάτι χρόνο, όταν άρχισα να ξαναδιαβάζω βιβλία με αυτό το αντικείμενο, αλλά δεν θυμάμαι σε πιο βιβλίο.
      Και βέβαια η λύση έχει νόημα σε ιδανικές συνθήκες σφαίρας με λεία επιφάνεια. Σε πραγματικές συνθήκες όμως όπως είναι η γη και ιδιαίτερα όταν οι επιμέρους τρεις διαδρομές και η συνολική φυσικά, είναι μεγάλες δύσκολο έως ακατόρθωτο να βρεθούμε στο αρχικό σημείο, έστω και με κάποια προσέγγιση και μετά από ακριβείς υπολογισμούς. Μόνο η ΝΑΣΑ και παρόμοιοι οργανισμοί θα μπορούσαν να το επιτύχουν!

      Διαγραφή
  2. RIZOPOULOS GEORGIOS25 Σεπτεμβρίου 2014 στις 2:31 π.μ.

    Ενδιαφέρον πρόβλημα Κάρλο.
    Τα σημεία είναι άπειρα.
    Ένα σημείο, έστω Α, που ικανοποιεί τις προϋποθέσεις της εκφώνησης:
    Α->100Ν->100Δ->100Β=A ,είναι ο Βόρειος Πόλος. Αν και είναι συζητήσιμο (δεν το ξέρω δηλαδή αν έχει γίνει) κατά πόσον μπορεί να απογειωθεί από τον λεπτό του πάγο δίκην αεροδιαδρόμου κάποιο αεροπλάνο. Ελικόπτερο μπορεί, εκτός από τις περιόδους που ο Β.Πόλος είναι…θάλασσα, γιατί υπάρχουν και τέτοιες.:-)
    Υπάρχουν όμως άπειρα σημεία περιμετρικά (σε ομόκεντρους κύκλους) γύρω από το Νότιο Πόλο, που επίσης μπορεί να εφαρμοστεί το: 100 Νότια, 100 Δυτικά, 100 Βόρεια.
    Ένας κύκλος περιφέρειας Π ,με κέντρο το Ν.Πόλο έχει ακτίνα R=Π/(2π)
    Αν ξεκινήσει από ένα σημείο ,έστω Α, σε απόσταση R+100 μίλια από το Ν.Πόλο ,ταξιδεύοντας 100 μίλια Νότια θα φτάσει στην περιφέρεια του κύκλου σε ένα σημείο της ,έστω Β. Ταξιδεύοντας 100 μίλια δυτικά (ή ανατολικά, το ίδιο κάνει) δηλαδή ακολουθώντας την περίμετρο του κύκλου θα ξαναφτάσει υποχρεωτικά στο Β. Από το Β τώρα 100 μίλια βόρεια είμαστε πάλι πίσω ακριβώς στο Α απ’όπου και ξεκινήσαμε. Καλό έ;
    Το ακόμα πιο καλό είναι πως τα άπειρα αυτά σημεία (αφού είναι όλα τα σημεία της περιφέρειας κύκλου με ακτίνα (R+100)μίλια και κέντρο το Ν.Πόλο) δεν είναι τίποτα μπροστά στα …ακόμα πιο άπειρα από άπειρους άλλους κύκλους.:-)
    Εξηγούμαι. Αν το αεροπλάνο ξεκινήσει από ένα τυχαίο σημείο σε απόσταση (R/2) +100 και πάλι μπορούν να τηρηθούν οι συνθήκες του προβλήματος. Όπως πριν, φτάνει στο Β και τώρα απλώς κάνει 2 κύκλους γύρω από τον Πόλο, ταξιδεύοντας πάντα Δυτικά και ξαναφτάνει στο Β, κ.λ.π.
    Υπάρχουν άπειρες αρχικές αποστάσεις από τον Ν.Πόλο που κάνουν τη δουλειά.
    Όλες που απέχουν (R/ν) +100 μίλια, με ν ακέραιο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Papaveri25 Σεπτεμβρίου 2014 στις 1:05 μ.μ.

    Καλημέρα σας.
    Σας ευχαριστώ και τους δύο για την ανάλυση που κάνατε. Πράγματι το πρόβλημα αυτό κυκλοφορεί στο διδίκτυο με παραλλαγές.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)