1. Υπάρχει συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$ και σύνολο τιμών το ${\mathbb{R}^*}$;
2. Υπάρχει $1 - 1$ συνάρτηση με πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$ και σύνολο τιμών το ${\mathbb{R}^*}$;
Σε κάθε περίπτωση αν η απάντηση είναι θετική να δοθεί παράδειγμα, ενώ αν η απάντηση είναι αρνητική να τεκμηριωθεί.
Nίκο, το πρόβλημα ,παρά την φαινομενικά απλή εκφώνησή του, φαίνεται πολύ ενδιαφέρον. Θα ήθελα μια διευκρίνιση όμως.
ΑπάντησηΔιαγραφήΌταν λες με "σύνολο τιμών το R* " δεν εννοείς απλώς φαντάζομαι πως το "πεδίο τιμών" της είναι το R*, αλλά πως παίρνει όλες τις τιμές, δηλαδή είναι και "επί". Σωστά;
Καλησπέρα .
ΔιαγραφήΣτο σημείο αυτό τα σχολικά βιβλία τα έχουν μπερδέψει τα πράγματα και πολλές φορές διαφωνούμε μεταξύ μας .
Έχει επικρατήσει όταν λέμε (πραγματική) συνάρτηση $f:A \to \mathbb{R}$ να θεωρούμε το πεδίο ορισμού το $A$ και το σύνολο αφίξεως το $\mathbb{R}$. Με $A \subseteq \mathbb{R}$ , εν γένει.
Π.χ. $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\,\,\mu \varepsilon \,\,\,f(x) = \sin x$ .
Την έκφραση «πεδίο τιμών» την έχει καταργήσει
( μάλλον κακώς ) και αντ’ αυτής ορίζει ως σύνολο τιμών και το συμβολίζει με $f(A)$ το σύνολο όλων των εικόνων: Αντιγράφω από το βιβλίο της $A$ λυκείου φετινής εκδόσεως: Το σύνολο, που έχει ως στοιχεία του τις τιμές $f(x)$ για όλα τα $x \in A$, λέγεται σύνολο τιμών της $f$ και συμβολίζεται ως $f(A)$.
Δηλαδή με βάσει τα παραπάνω στο παράδειγμα που δίδω το σύνολο τιμών ( που για μένα ταυτίζεται με το πεδίο τιμών) είναι το διάστημα $D = [ - 1,1]$ και προφανώς η $f(x) = \sin x$ είναι «επί» του $D$.
Όλα τα παραπάνω τα γράφω όχι «κομίζων Γλαύκας εις Αθήνας» αλλά γιατί νομίζω ότι βρίσκεσαι στην Κύπρο( ίσως όμως να κάνω και λάθος) και δεν έχεις άμεση πληροφόρηση περί των σχολικών Βιβλίων στην Ελλάδα.
Nίκο, πολλά δεν έχουν ή δεν τα έχουν όπως θα έπρεπε να τα έχουν τα σχολικά βιβλία σε Ελλάδα και Κύπρο, αλλά εσείς οι μάχιμοι δάσκαλοι τα ξέρετε καλύτερα, οπότε η γνώμη μου μάλλον περισσεύει. Καλώς κατά τη γνώμη μου χρησιμοποιείς λοιπόν το "σύνολο τιμών" και όχι το "πεδίο τιμών" αν και το θέμα λύνεται οικονομικά με την ορολογία "επί". Οι Αγγλοσάξωνες το έχουν λύσει γλωσσικά το θέμα με τους τρεις όρους: domain (πεδίο τιμών, δηλαδή όλα τα μέλη ενός συνόλου Α ) ,codomain (όλο το σύνολο Β) και range ή image που είναι αυτό ακριβώς που λες ,δηλαδή οι πραγματικές τιμές της συνάρτησης που απεικονίζει το Α στο Β. Ξεκάθαρα πράματα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕχω κατασταλάξει σε λύση νομίζω, αλλά είναι αργά ,οπότε ες αύριον τα σπουδαία.
Παραδρομή. "Πεδίο ορισμού" εννοούσα βεβαίως για το Domain.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣυνεχής συνάρτηση f(R) ,ασχέτως αν είναι 1-1 ή όχι, που να είναι επί στο R* δεν υπάρχει. Αυτό δείχνεται μάλλον με κάμποσους τρόπους, ένας είναι ο τοπολογικός (αν)ομοιομορφισμός/ισομορφισμός ( homeomorphism) μεταξύ του R και του R* που έχει ασυνέχεια στο 0, και δεν μπορεί να ικανοποιήσει την αναγκαία και ικανή συνθήκη μονοτονίας για μια τέτοια f. Tώρα αυτό ίσως μοιάζει λίγο κινέζικο , οπότε ας το κάνω ρωμαίικο με μια απλή απαγωγή εις άτοπο.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν υπήρχε τέτοια f, τότε θα υπήρχαν δυο τιμές του πεδίου ορισμού α και β, τέτοιες ώστε f(α)=-1 και f(β)=1 . Έστω α μικρότερο του β (ομοίως, δηλαδή με αντιστροφή των άκρων του διαστήματος δείχνεται και για β μικρ. α) . Η f πρέπει ,ως συνεχής στο R ,να είναι συνεχής και στο [α,β] . Αλλά -1<0<1 και από το Intermediate value theorem («θεώρημα ενδιάμεσης τιμής» (;) δεν με βοηθάει η εξωφρενικά φτωχή στα Μαθηματικά ελληνική Wikipedia ) υπάρχει κάποιο γ που ανήκει στο (α,β) τέτοιο ώστε f(γ)=0 . Άτοπο.
Aρα στο πιο ενδιαφέρον ζήτημα 2. πλέον, αναζητούμε αν υπάρχει μια ασυνεχής συνάρτηση f από το R 1-1 και “πάνω» στο R*. Μια αμφιμονοσήμαντη ασυνεχής f δηλαδή.
Μας κάνει απλά η ταυτοτική συνάρτηση ,αλλά χρειάζεται ένα κολπάκι παραλλαγής και αναπροσαρμογής ,ώστε να της δημιουργήσουμε μια «τρυπούλα» στο 0 και να μεταθέτουμε το «πρόβλημα της τρυπούλας» μια θέση δίπλα εις το διηνεκές. Εξηγούμαι.
Η δίκλωνη συνάρτηση: f(x)=x για x ανήκει στο {R εκτός του:{0,1,2,3,…,n}} , και f(x)=x+1 για x=0,1,2,…n είναι μια προφανώς μη συνεχής (και μάλιστα με αριθμήσιμα άπειρα σημεία ασυνέχειας! Στους φυσικούς.) αλλά 1-1 και επί συνάρτηση R ----R*
Μετακινήσαμε το 0 στο 1, το 1 στο 2 κ.λ.π.
Με αυτό το κολπάκι (σε διάφορες παραλλαγές υποθέτω) μπορούμε να βρούμε αμφιμονοσήμαντες (1-1 και επί) απεικονίσεις από τους πραγματικούς σε υπεραριθμήσιμα άπειρα προφανώς υποσύνολα του R . π.χ από το R- στο (0,1] , από το R στο {R πλην τυχαίο συνεχές υποσύνολο} ,και ό,τι άλλο εξωτικό θέλουμε. Ο βαθύτερος λόγος βεβαίως είναι πως όλα τα υποσύνολα και όλες οι ενώσεις υποσυνόλων του R , και όλα τα διαστήματα (ανοικτά, ημιανοικτά, ή κλειστά) του R έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό (πληθάριθμο/Cardinality) με το R. Άλεφ 1.
Πολύ ωραίο το θέμα σου αυτό Νίκο! Ψυλλιάστηκα τη λύση βέβαια λόγω της οικειότητάς μου με το διαγώνιο επιχείρημα του Cantor ,που κάπως –σε χοντροκομμένη μορφή βέβαια- το θυμίζει αυτή η τεχνική. Mετά από μια γερή δόση σκληρών εφαρμοσμένων μαθηματικών που πήρα χάρις στο φίλο Στέλιο, μού χρειαζόταν λίγος «Καντοριανός παράδεισος» για να έρθω σε ισορροπία.
Άργησα να απαντήσω γιατί έχουμε αυτές τις μέρες τις επαναληπτικές των μαθητών , ιδιαίτερα της Α Λυκείου με τράπεζα θεμάτων και «σκληρές» εξετάσεις για τα παιδιά λόγω των νέων μέτρων .
ΔιαγραφήΌλα άριστα- ευχαριστώ .
Στο πρώτο ερώτημα προφανώς και δεν υπάρχει αφού η εικόνα ενός διαστήματος , εν προκειμένω του $\mathbb{R}$, μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης είναι ένα διάστημα που εδώ το ${\mathbb{R}^*} = ( - \infty ,0) \cup (0, + \infty )$ δεν είναι ένα διάστημα αλλά ένωση διαστημάτων
Στο δεύτερο ερώτημα (που είναι και το πιο δύσκολο) το παράδειγμα του Γιώργου είναι το καλύτερο.
Μια συνάρτηση περίπου που αποδίδει τις τρυπούλες στο διηνεκές ( πολύ ωραία έκφραση) είναι η πιο κάτω:
$f(x) = x,x < 0\,\,\,\varepsilon \iota \tau \varepsilon \,\,\,1,x = 0\,\,\,\varepsilon \iota \tau \varepsilon \,\,\,[\dfrac{{[x]}}{x}] + x,x > 0$
με $\left[ x \right] = $ακέραιο μέρος του $x$, $\left[ x \right] = floor(x)$
Μια άλλη τέτοια συνάρτηση είναι και ή πιο κάτω :
\[f(x) = {e^x},x \leqslant 0\,\,\varepsilon \iota \tau \varepsilon \,\,\ln x,0 < x < 1\,\,\varepsilon \iota \tau \varepsilon \,\,[x] + 1 - {(x - [x])^2},x \geqslant 1\]
Συναρτήσεις με πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$, σύνολο τιμών το ${\mathbb{R}^*}$ και είναι $1 - 1$. Υπάρχουν προφανώς άπειρες τέτοιες συναρτήσεις .
Υ.Γ.
Θα κάνω μια προσπάθεια αργότερα ή αύριο να βάλω και κάποιο σχήμα .
Αν όμως υπάρχει πρόβλημα , διαγραφής κάποιου σχολίου να το αποφύγω.
Νίκο, ας μην διαιωνίζουμε δυσάρεστες για όλους μάλλον καταστάσεις. Φυσικά και μπορείς να χειριστείς και να επεκτείνεις την ανάρτησή σου όπως θέλεις, εφόσον δεν πρόκειται να αναδειχτεί κάποιο μεγάλο κουσούρι μου, όπως η πολυφαγία ή η ανορθογραφία. :-)
Διαγραφή