Απάντηση (ABCD)= ?

Δείτε εδώ την εκφώνηση

Επειδή το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο μιας μη παράλληλης πλευράς επί την απόσταση του μέσου της άλλης απ’ αυτήν θα προκύψει:

$(AEGD) = EG \cdot {M_4}Z \Rightarrow 269k + 411k = 34{M_4}Z$ .

Και άρα $\boxed{{M_4}Z = 20k}$.

Ομοίως εργαζόμενοι βρίσκουμε  τις αποστάσεις των ${M_1},{M_3}$ από την $HF$ , $16k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,24k$ αντίστοιχα, ενώ την απόσταση  του ${M_2}$ από την $FG$ πάλι $20k$, με $k > 0$. Δηλαδή η $EG$ διέρχεται από το κέντρο $K$ του τετραγώνου.

Επειδή $24k - 16k = 8k \Rightarrow \boxed{KP = 4k}$. Είναι δε φανερό ότι το εμβαδόν του $(ABCD) = (269 + 275 + 405 + 411)k = 1360k$ Αν τώρα φέρουμε την κάθετη στην $EG$ στο $K$ θα τμήσει τις απέναντι πλευρές του τετραγώνου στα $T,S$ ( το $T$ στην $AD$).

Τώρα όμως το τετράγωνο από τις $EG\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,TS$ χωρίζεται σε τέσσερα ίσα μέρη το καθένα ίσο με $340k$ . Το εμβαδόν του τραπεζίου $TKPH$ είναι $340k - 269k = 71k$. Από την άλλη μεριά $(TKPH) = \dfrac{{TK + PH}}{2}PK \Rightarrow 71k = \dfrac{{17 + PH}}{2}4k$ .

Και άρα $\boxed{PH = \dfrac{{37}}{2}}$

Αν τώρα $TL \bot PH$ θα είναι $HL = \dfrac{{37}}{2} - 17 \Rightarrow \boxed{HL = \dfrac{3}{2}}$.  Τώρα το εμβαδόν του παραλληλογράμμου  $HTSF$ εκφραζόμενο με δύο τρόπους δίδει : $(HTSF) = HT \cdot AB = HF \cdot PK$ και άρα :

$HT\sqrt {1360k}  = 34 \cdot 4k \Rightarrow \boxed{HT = \dfrac{{2\sqrt {85k} }}{5}}$. Τέλος από το Π. Θ. στο τρίγωνο $LTH$ έχω : ${(\dfrac{{2\sqrt {85k} }}{5})^2} = \dfrac{9}{4} + 16{k^2} \Leftrightarrow 320{k^2} - 272k + 45 = 0$, με ρίζες $k = \dfrac{5}{8}$  ή  $k = \dfrac{9}{{40}}$.

Η πρώτη τιμή δίδει $(ABCD) = 850$ και η δεύτερη $(ABCD) = 306$.

Όμως η πλευρά του τετραγώνου δεν μπορεί να ξεπεράσει to $34$ αλλά πάντα μεγαλύτερη από $17\sqrt 2 $ ( όταν οριακά η $EG$ πλησιάζει την διαγώνιό του ) και άρα το εμβαδόν του είναι πάντα μεγαλύτερο του $578$.