Απάντηση (ABCD)= ?

Δείτε εδώ την εκφώνηση

Επειδή το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο μιας μη παράλληλης πλευράς επί την απόσταση του μέσου της άλλης απ’ αυτήν θα προκύψει:

$(AEGD)=EG\cdot M_{4}Z\Rightarrow 269k+411k=34M_{4}Z$ .

Και άρα $\boxed{{\displaystyle M_{4}Z=20k}}$.

Ομοίως εργαζόμενοι βρίσκουμε  τις αποστάσεις των $M_1,M_3$ από την $HF$ , $16k\kappa \alpha \iota 24k$ αντίστοιχα, ενώ την απόσταση  του $M_2$ από την $FG$ πάλι $20k$, με $k>0$. Δηλαδή η $EG$ διέρχεται από το κέντρο $K$ του τετραγώνου.

Επειδή $24k-16k=8k\Rightarrow \boxed{{\displaystyle KP=4k}}$. Είναι δε φανερό ότι το εμβαδόν του $(ABCD)=(269+275+405+411)k=1360k$ Αν τώρα φέρουμε την κάθετη στην $EG$ στο $K$ θα τμήσει τις απέναντι πλευρές του τετραγώνου στα $T,S$ ( το $T$ στην $AD$).

Τώρα όμως το τετράγωνο από τις $EG\kappa \alpha \iota TS$ χωρίζεται σε τέσσερα ίσα μέρη το καθένα ίσο με $340k$ . Το εμβαδόν του τραπεζίου $TKPH$ είναι $340k-269k=71k$. Από την άλλη μεριά $(TKPH)={\displaystyle \frac{TK+PH}{2}}PK\Rightarrow 71k={\displaystyle \frac{17+PH}{2}}4k$ .

Και άρα $\boxed{{\displaystyle PH={\displaystyle \frac{37}{2}}}}$

Αν τώρα $TL\mathrm{\perp }PH$ θα είναι $HL={\displaystyle \frac{37}{2}}-17\Rightarrow \boxed{{\displaystyle HL={\displaystyle \frac{3}{2}}}}$.  Τώρα το εμβαδόν του παραλληλογράμμου  $HTSF$ εκφραζόμενο με δύο τρόπους δίδει : $(HTSF)=HT\cdot AB=HF\cdot PK$ και άρα :

$HT\sqrt{1360k}=34\cdot 4k\Rightarrow \boxed{{\displaystyle HT={\displaystyle \frac{2\sqrt{85k}}{5}}}}$. Τέλος από το Π. Θ. στο τρίγωνο $LTH$ έχω : $({\displaystyle \frac{2\sqrt{85k}}{5}}{)}^2={\displaystyle \frac{9}{4}}+16k^2\iff 320k^2-272k+45=0$, με ρίζες $k={\displaystyle \frac{5}{8}}$  ή  $k={\displaystyle \frac{9}{40}}$.

Η πρώτη τιμή δίδει $(ABCD)=850$ και η δεύτερη $(ABCD)=306$.

Όμως η πλευρά του τετραγώνου δεν μπορεί να ξεπεράσει to $34$ αλλά πάντα μεγαλύτερη από $17\sqrt{2}$ ( όταν οριακά η $EG$ πλησιάζει την διαγώνιό του ) και άρα το εμβαδόν του είναι πάντα μεγαλύτερο του $578$.