Το ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ έχει κάθετες πλευρές $AB=8$ και $AC=6$. Το τμήμα $ST$, με άκρα επί των $CA,CB$, χωρίζει το τρίγωνο σε δύο περιοχές, οι οποίες έχουν ίσα εμβαδά και ίσες περιμέτρους.
Δείξτε ότι $ST=4\sqrt{3}$. (Υπενθύμιση: Η ευθεία $ST$ λέγεται εξισωτής για το τρίγωνο $ABC$).
Nα προσθέσω μερικά ενδιαφέροντα θεωρώ ερωτήματα:
ΑπάντησηΔιαγραφή1. Ποια η σχέση (αν υπάρχει) της ST με το έγκεντρο του τριγώνου; Περνάει πάντα η γραμμή από το έγκεντρο; Είναι αναγκαία και ικανή η συνθήκη για έναν εξισωτή να περνάει από το έγκεντρο ,έστω Ι ,του τριγώνου;
2.Πόσους εξισωτές μπορεί να έχει ένα τυχαίο τριγώνο;
Έναν; Δύο; Τρεις; Περισότερους;
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω ΑS=x και ΒΤ=y,επειδή τα σχήματα έχουν ίσες περιμέτρους έχουμε: 6-x+10-y+ST=x+8+y+ST και προκύπτει
ΑπάντησηΔιαγραφήη πρώτη εξίσωση: 6-x+10-y=x+8+y συνεπάγεται x+y=4.
Από την εκφώνηση της άσκησης έχουμε ότι τα εμβαδά των δυο σχημάτων που χωρίζει ο εξισωτής το ορθογώνιο τρίγωνο είναι ίσα συνεπώς το καθένα θα έχει εμβαδόν ίσο με (0.5Χ8Χ6)/2=12.
Το εμβαδόν του τριγώνου CST=0.5X(CS)X(CT)Χ ημφ=0.5Χ(6-x)(6+x)X(4/5)=12, λύνοντας την εξίσωση έχουμε x=Sqrt(6).
Επίσης από την αρχική εξίσωση έχουμε y=4-x=4-Sqrt(6),όπου φ=γωνία ACB με ημφ=4/5.
Εφαρμόζουμε τον νόμο των συνιμητόνων στο τρίγωνο CST έχουμε: (ST)^2=(6-Sqrt(6))^2+(6+Sqrt(6))^2-
2X(6-Sqrt(6))X(6+Sqrt(6))X συνφ συνεπάγεται
(ST)^2=84-60X(3/5)=48, συνεπάγεται (ST)=Sqrt(48)=Sqrt(16X3)=4XSqrt(3),όπου συνφ=3/5.