Με μία κάθετη πλευρά την ακτίνα 
ημικυκλίου διαμέτρου 
, σχεδιάζω το ορθογώνιο τρίγωνο 
, του οποίου το ύψος προς την υποτείνουσα 
, καλώ 
. Η 
προεκτεινόμενη, τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο 
, ενώ η 
προεκτεινόμενη, τέμνει την υποτείνουσα στο σημείο 
. Δείξτε ότι 
.
ημικυκλίου διαμέτρου , σχεδιάζω το ορθογώνιο τρίγωνο , του οποίου το ύψος προς την υποτείνουσα , καλώ . Η προεκτεινόμενη, τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο , ενώ η προεκτεινόμενη, τέμνει την υποτείνουσα στο σημείο . Δείξτε ότι .
Έστω ότι η BS προεκτεινόμενη, τέμνει την AL στο C. Η γωνία ASB είναι ορθή, διότι βαίνει σε ημικύκλιο. Στα ορθογώνια τρίγωνα ACS και ABC είναι γωνία ACS=γωνία ACB, οπότε αυτά είναι όμοια και CS/AS=AC/AB. Επίσης, εφαρμόζοντας το θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο AKM με τέμνουσα τη BS, παίρνω: (AS/MS)(DM/DK)(BK/AB)=1, ή (1/2)(AS/MS)(DM/DK)=1, ή AS/MS=2DK/DM, αφού AB=2BK. Τα ορθογώνια τρίγωνα DMS και ADM έχουν γωνία DMS=γωνία AMD, άρα είναι όμοια και MS/DS=DM/AD. Ομοίως και τα ορθογώνια τρίγωνα ADK και AKL είναι όμοια, επειδή γωνία AKD=γωνία AKL, επομένως DK/AD=AK/AL. Ο λόγος τώρα CS/DS=(CS/AS)(AS/MS)(MS/DS)=(AC/AB)(2DK/DM)(DM/AD)=(AC/AB)(2DK/AD)=(AC/AB)(2AK/AL)=AC/AL, εφόσον AB=2AK. Αν εφαρμόσω τώρα ξανά το θεώρημα Μενελάου, αυτή τη φορά στο τρίγωνο DCL με τέμνουσα την AM, θα πάρω: (DM/LM)(CS/DS)(AL/AC)=1, ή (DM/LM)(AC/AL)(AL/AC)=1, ή DM/LM=1, ή DM=LM, που είναι και το ζητούμενο.
ΑπάντησηΔιαγραφήΦώτη αν και με κούρασε ο έλεγχος της λύσης σου, είναι σωστή..
ΑπάντησηΔιαγραφήΈχεις λίγο επεκταθεί αλλά αυτό δείχνει ότι ένα θέμα γεωμετρίας αν σε πεισμώσει και είσαι γνώστης της θεωρίας δύσκολα θα σου ξεφύγει .
Μάθε Latex ( αν μπορώ θα βοηθήσω σ αυτό) για να είναι τα γραφόμενα σου , με μαθηματικές εκφράσεις, πιο ευανάγνωστα και πιο ξεκούραστα για τον όποιο θέλει να "δει" τις ομολογουμένως "ζογκλερικές" κινήσεις σου.
Αν εξαιρέσουμε την έλλειψη σχεδίου, που κάνει τον έλεγχο λίγο πιο κουραστικό, υπάρχει πιο σύντομη λύση από αυτή; Θα ήθελα να δείτε και τις καμπύλες με τους μιγαδικούς, σας το είπα και την άλλη φορά.
ΑπάντησηΔιαγραφήΔες στην "πηγή" την λύση του πιτσιρικά του Ραφαήλ Ψαρούκη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕίναι ποίημα!!
Τις καμπύλες τις είδα.
Το email μου είναι: nfragkakis@sch.gr
στείλε μου το δικό σου στην πιο πάνω διεύθυνση να σου στείλω τα σχήματα.
Όντως πολύ καλή! Το βραδάκι θα σας στείλω και το μήνυμα.
Διαγραφή