Πέμπτη 31 Ιουλίου 2014

$a+b+c=?$

Έστω $m$ η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης: 
\[\dfrac{3}{x-3} + \dfrac{5}{x-5} + \dfrac{17}{x-17} + \dfrac{19}{x-19} = x^2 - 11x - 4\]
Αν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι αριθμοί $a, b,$ και $c$ τέτοιοι ώστε $m = a + \sqrt{b + \sqrt{c}}$, να βρεθεί το άθροισμα
$Κ=a+b+c$.
 USA AIME 2014
Αναρτήθηκε από στις 31.7.14
Ετικέτες , ,

4 σχόλια:

  1. Doloros1 Αυγούστου 2014 στις 8:20 μ.μ.

    Πολύ ωραία άσκηση

    $a + b + c = 11 + 52 + 200 = 263$.

    Λεπτομέρειες ίσως πιο βράδυ

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Doloros2 Αυγούστου 2014 στις 1:53 π.μ.

    Η εξίσωση $\dfrac{3}{{x - 3}} + \dfrac{5}{{x - 5}} + \dfrac{{17}}{{x - 17}} + \dfrac{{19}}{{x - 19}} = {x^2} - 11x - 4$ ορίζετε στο $A = \mathbb{R} - \{ 3,5,17,19\} $ και γράφεται ισοδύναμα : $\dfrac{3}{{x - 3}} + \dfrac{5}{{x - 5}} + \dfrac{{17}}{{x - 17}} + \dfrac{{19}}{{x - 19}} + 4 = x(x - 11)$ ή $\dfrac{3}{{x - 3}} + 1 + \dfrac{5}{{x - 5}} + 1 + \dfrac{{17}}{{x - 17}} + 1 + \dfrac{{19}}{{x - 19}} + 1 = x(x - 11)$ ή $\dfrac{x}{{x - 3}} + \dfrac{x}{{x - 5}} + \dfrac{x}{{x - 17}} + \dfrac{x}{{x - 19}} = x(x - 11)$ και έχει προφανή ρίζα : $\boxed{{x_1} = 0}$.
    Με $x \ne 0$ γίνεται : $\dfrac{1}{{x - 3}} + \dfrac{1}{{x - 5}} + \dfrac{1}{{x - 17}} + \dfrac{1}{{x - 19}} = x - 11$ ή $\dfrac{1}{{x - 3}} + \dfrac{1}{{x - 19}} + \dfrac{1}{{x - 5}} + \dfrac{1}{{x - 17}} = x - 11$ ή $\dfrac{{2(x - 11)}}{{(x - 3)(x - 19)}} + \dfrac{{2(x - 11)}}{{(x - 5)(x - 17)}} = x - 11$ και έχει νέα προφανή ρίζα : $\boxed{{x_2} = 11}$ . Με $x \ne 11$ η προηγούμενη δίδει : $\dfrac{2}{{(x - 3)(x - 19)}} + \dfrac{2}{{(x - 5)(x - 17)}} = 1\,\,\,(1)$ . Τώρα θέτω $x = t + 11$ και η προηγούμενη γίνεται $\dfrac{2}{{{t^2} - 64}} + \dfrac{2}{{{t^2} - 36}} = 1\,\,\,(2)$ και αν ${t^2} = y$ έχω : $\dfrac{2}{{y - 64}} + \dfrac{2}{{y - 36}} = 1$.
    Η τελευταία λύνεται κατά τα γνωστά και δίδει : $y = 52 + 10\sqrt 2 $ ή $y = 52 - 10\sqrt 2 $ από την πρώτη που είναι η πιο μεγάλη, έχω τελικά και τη μεγαλύτερη της αρχικής : $m = \sqrt {52 + 10\sqrt 2 } + 11 = 11 + \sqrt {52 + \sqrt {200} } $ και άρα $a = 11,b = 52,c = 200$ οπότε : $a + b + c = 263$

    Νίκος Φραγκάκης ( Doloros) – 2ο Λύκειο Ιεράπετρας

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ2 Αυγούστου 2014 στις 10:30 π.μ.

      Νίκο καλημέρα!
      Επέτρεψε μου να σκεφτώ φωναχτά:
      Τυχεροί, πολύ τυχεροί οι μαθητές σου, μεταξύ αυτών και εγώ ξανά-"μαθητής-φοιτητής", όπως φυσικά και του κ. Ρωμανίδη!

      Διαγραφή
  3. Doloros4 Αυγούστου 2014 στις 11:07 μ.μ.

    Ευθύμη σ ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια.
    Ο θεός να σου δίνει πάντα υγεία και ευτυχία.
    Πάντως κάνοντας την αυτοκριτική μου , μάλλον μένω μετεξεταστέος και όχι μόνο σε μαθηματικά θέματα .

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)