Επαναληπτικά θέματα στους μιγαδικούς από το study4exams

ΑΣΚΗΣΗ 1

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z με

  .

Να δείξετε ότι οι εικόνες του μιγαδικού z ανήκουν σε κύκλο του οποίου να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα.

ΑΣΚΗΣΗ 2

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί

  και

Για τον μιγαδικό αριθμό να αποδείξετε την ισοδυναμία:

.

Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο μιγαδικό επίπεδο, για τους οποίους ισχύει: , όπου με .

Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z να βρείτε ποιος έχει το ελάχιστο μέτρο. 

Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο μιγαδικό επίπεδο, για τους οποίους ισχύει: όταν το t διατρέχει το .

ΑΣΚΗΣΗ 3

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός w για τον οποίο ισχύει: . Να δείξετε ότι:

.

.

.

.

.

ΑΣΚΗΣΗ 4

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z,w με 

και .

i. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z.

ii. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w.

iii. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του .

ΑΣΚΗΣΗ 5

Έστω η εξίσωση

  (1) 

με .

i. Να λύσετε την εξίσωση (1). Για ποια τιμή του $\alpha$ η (1) έχει πραγματικές ρίζες;

ii. Να δείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της (1) κινούνται πάνω σε μια υπερβολή.

iii. Να βρεθεί η τιμή του έτσι, ώστε να έχουμε τη λύση της εξίσωσης με το ελάχιστο μέτρο.

ΑΣΚΗΣΗ 6

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί με . Αν Α, Β, Γ οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών 

, και

αντίστοιχα, τότε:

Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.

Αν , να βρείτε το εμβαδό του ΑΒΓ.

ΑΣΚΗΣΗ 7

Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z για τους οποίους ισχύει:

ΑΣΚΗΣΗ 8

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w με

  και

Να βρείτε τους γεωμετρικούς τόπους των εικόνων των z και w στο μιγαδικό επίπεδο.

Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των και .

Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του .

ΑΣΚΗΣΗ 9

α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των που επαληθεύουν την: 

.

β) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο των που επαληθεύουν τις:

  και  

βρίσκονται πάνω σε παράλληλες ευθείες, και να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή του .

ΑΣΚΗΣΗ 10

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση:

  (1).

α) Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων τους είναι κύκλος που εφάπτεται στον άξονα .

β) Αν μιγαδικός αριθμός που ικανοποιεί την (1), τότε να δείξετε ότι:

(2) 

και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τη σχέση (2)

γ) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του

, 

όπου μιγαδικός που ικανοποιεί την (1).

ΑΣΚΗΣΗ 11

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 

, και . 

Να δείξετε ότι:

και . 

Αν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται πάνω στην ευθεία , τότε να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z. 

Αν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται πάνω στην ευθεία , τότε οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w κινούνται πάνω στην ευθεία .

ΑΣΚΗΣΗ 12

α) i. Να δείξετε την ταυτότητα:

  . 

ii. Αν και να δείξετε ότι:

  . 

β) Αν να δείξετε ότι:

i. .

ii. .