Λύση στο πρόβλημα: Λόγοι

Δείτε εδώ το πρόβλημα.
Το πρόβλημα λύνεται χωρίς βοηθητικές γραμμές με το θεώρημα του Μενελάου.
Ας το δούμε όμως με τα γνωστά της Α Λυκείου.

Αν $M$ το μέσο του $BC$ θα είναι $GM//={\displaystyle \frac{FC}{2}}$ δηλαδή $GM//=AF$ . Συνεπώς το τετράπλευρο $AGMF$ είναι παραλληλόγραμμο και έτσι οι διαγώνιοι του θα διχοτομούνται στο $Z$ οπότε $GZ=ZF$. Μα τότε $BG=2GZ$ και συνεπώς το $G$ είναι βαρύκεντρο του τριγώνου $ABM$ και άρα η $AE$ διάμεσός του.

Έτσι ${\displaystyle \frac{BE}{EC}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$.