Έστω τετράγωνο με κορυφές $P_1(0,1), P_2(1,1), P_3(1,0)$, $P_4(0,0)$. Έστω $P_5$ το μέσο του τμήματος $P_1P_2$, $P_6$ το μέσο του τμήματος $P_2P_3$, κ.λ.π. Η ακολουθία των σημείων $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6, P_7, ...$ τείνει στο σημείο $P$ στο εσωτερικό του τετραγώνου.
Αν οι συντεταγμένες των σημείων $P_n$ είναι $(x_n, y_n)$ να βρεθούν οι $x_n$ και $y_n$, για $1 < n < 13$.
Eνδιαφέρον πρόβλημα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑς ορίσουμε ως Ο το όριο του $P_{n}$ ,για n--->άπειρο.
$O= \lim_{n \rightarrow \infty } P_{n}$ και ας ορίσουμε επίσης:
$F_{n} = P_{n} + P_{n-1} + P_{n-2} + P_{n-3} \times \frac{1}{2}$ για $n=4 ,5, 6,...$
Iσχύει προφανώς:
$lim F_{n} =(7/2)*O$
$F_{n}=F_{4}$ (για κάθε n=4,5,6... . Το F(n) μένει σταθερό!)
Άρα: $\frac{7}{2} O= F_{4} \Leftrightarrow O=(2/7)*F_{4}=$
=( 4/7 , 3/7)