Γεωμετρικός τόπος

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών $z$ για τους οποίους:

$\left| {\dfrac{{{z^2} + 9}}{z}} \right| = 6$.

Λύση

 Έχουμε λοιπόν  για κάθε $z \ne 0$, $\left| {\dfrac{{{z^2} + 9}}{z}} \right| = 6 \Leftrightarrow {\left| {z + \dfrac{9}{z}} \right|^2} = 36$ . Άρα

$(z + \dfrac{9}{z})(\overline z  + \dfrac{9}{{\bar z}}) = 36 \Leftrightarrow z\bar z + 9(\dfrac{{{z^2} + {{\bar z}^2}}}{{z\bar z}}) - 36 = 0$ και πολλαπλασιάζοντας με $z\bar z$ προκύπτει : ${(z\overline z )^2} + 9{z^2} + 9{\bar z^2} + 81 - 36z\bar z = 0$   που αν την «σπάσω» γράφεται :

${(z\bar z)^2} - 18z\bar z + 81 + 9{z^2} - 18z\bar z + 9{\bar z^2} = 0$. Επειδή $\boxed{{i^2} =  - 1}$ η προηγούμενη γράφεται:

$\boxed{{{(z\bar z - 9)}^2} - {{((3z - 3\bar z)i)}^2} = 0}$ . Μετά απ’ αυτά έχουμε:

$z\bar z + 3(z - \bar z)i - 9 = 0$ ή  $z\bar z - 3(z - \bar z)i - 9 = 0$

που αν τώρα θέσουμε $\boxed{z = x + yi}$ έχουμε τις εξισώσεις των δύο κύκλων που πολύ σωστά προσδιόρισε, έστω κα λίγο ανορθόδοξα ό Φώτης , δηλαδή :

${x^2} + {y^2} + 3(2yi)i - 9 = 0$ ή  ${x^2} + {y^2} - 3(2yi)i - 9 = 0$ ή τελικά :

$\boxed{{x^2} + {{(y - 3)}^2} = 18}$ ή $\boxed{{x^2} + {{(y + 3)}^2} = 18}$.

Φραγκάκης Νίκος (Doloros)- 2^ο Λύκειο Ιεράπετρας