Γεωμετρικός τόπος

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών $z$ για τους οποίους:

$\left|{\displaystyle \frac{z^2+9}{z}}\right|=6$.

Λύση

 Έχουμε λοιπόν  για κάθε $z\ne 0$, $\left|{\displaystyle \frac{z^2+9}{z}}\right|=6\iff {\left|z+{\displaystyle \frac{9}{z}}\right|}^2=36$ . Άρα

$(z+{\displaystyle \frac{9}{z}})(\bar{z}+{\displaystyle \frac{9}{\overline{z}}})=36\iff z\overline{z}+9({\displaystyle \frac{z^2+{\overline{z}}^2}{z\overline{z}}})-36=0$ και πολλαπλασιάζοντας με $z\overline{z}$ προκύπτει : $(z\bar{z}{)}^2+9z^2+9{\overline{z}}^2+81-36z\overline{z}=0$   που αν την «σπάσω» γράφεται :

$(z\overline{z}{)}^2-18z\overline{z}+81+9z^2-18z\overline{z}+9{\overline{z}}^2=0$. Επειδή $\boxed{{\displaystyle i^2=-1}}$ η προηγούμενη γράφεται:

$\boxed{{\displaystyle {(z\overline{z}-9)}^2-{((3z-3\overline{z})i)}^2=0}}$ . Μετά απ’ αυτά έχουμε:

$z\overline{z}+3(z-\overline{z})i-9=0$ ή  $z\overline{z}-3(z-\overline{z})i-9=0$

που αν τώρα θέσουμε $\boxed{{\displaystyle z=x+yi}}$ έχουμε τις εξισώσεις των δύο κύκλων που πολύ σωστά προσδιόρισε, έστω κα λίγο ανορθόδοξα ό Φώτης , δηλαδή :

$x^2+y^2+3(2yi)i-9=0$ ή  $x^2+y^2-3(2yi)i-9=0$ ή τελικά :

$\boxed{{\displaystyle x^2+{(y-3)}^2=18}}$ ή $\boxed{{\displaystyle x^2+{(y+3)}^2=18}}$.

Φραγκάκης Νίκος (Doloros)- 2^ο Λύκειο Ιεράπετρας

Σάρωση για να αποθηκεύσετε ή να κοινοποιήσετε την ανάρτηση