Μικρογραφίες

Μπορούμε να γράψουμε με πολύ μικρά γράμματα πάνω σε χαρτί ή και σε περίεργες επιφάνειες. Κάποιοι μάλιστα έχουν καταφέρει απίστευτα πράγματα μέσω μικροτεχνολογίας, όπως ας πούμε να γράψουν μεγάλα κείμενα σε κόκκους ρυζιού, ή και να χρησιμοποιήσουν στοιχειώδη σωματίδια ως "μελάνη".

Ας δούμε όμως το θέμα από την καθαρά μαθηματική πλευρά του.

Έστω πως έχετε μια τετράγωνη κόλα χαρτί και ένα ειδικό "μαθηματικό μολύβι". Το μολύβι αυτό μπορεί να γράψει γράμματα κάθε μεγέθους και η μύτη του γράφει  μια γραμμή που είναι τόσο χοντρή όσο και η "μαθηματική γραμμή".

Ερώτηση: Πόσες φορές μπορείτε να γράψετε το γράμμα ${\rm O}$ στην μια πλευρά του χαρτιού με αυτό το μολύβι; Τα γράμματα μπορεί να είναι σε οποιαδήποτε θέση πάνω στο χαρτί, μπορεί να είναι επίσης διαφόρων μεγεθών ,αλλά πρέπει όλα να έχουν το ίδιο σχήμα, αυτό του τέλειου κύκλου, και απαγορεύεται να τέμνονται ή να εφάπτονται μεταξύ τους.

Ερώτηση $2$: To ίδιο ακριβώς πρόβλημα, αλλά για το γράμμα ${\rm X}$. Πόσα ${\rm X}$ μπορείτε να γράψετε, με τις ίδιες προϋποθέσεις;