"I can stand brute force, but brute reason is quite unbearable. There is something unfair about its use. It is hitting bellow the intellect. "
Όσκαρ Γουάιλντ
Μπορούμε να γράψουμε με πολύ μικρά γράμματα πάνω σε χαρτί ή και σε περίεργες επιφάνειες . Κάποιοι μάλιστα έχουν καταφέρει απίστευτα πράγματα μέσω μικροτεχνολογίας, όπως ας πούμε να γράψουν μεγάλα κείμενα σε κόκκους ρυζιού, ή και να χρησιμοποιήσουν στοιχειώδη σωματίδια ως "μελάνη".Ας δούμε όμως το θέμα από την καθαρά μαθηματική πλευρά του.
Έστω πως έχετε μια τετράγωνη κόλα χαρτί και ένα ειδικό "μαθηματικό μολύβι". Το μολύβι αυτό μπορεί να γράψει γράμματα κάθε μεγέθους και η μύτη του γράφει μια γραμμή που είναι τόσο χοντρή όσο και η "μαθηματική γραμμή".
Ερώτηση: Πόσες φορές μπορείτε να γράψετε το γράμμα $Ο$ στην μια πλευρά του χαρτιού με αυτό το μολύβι; Τα γράμματα μπορεί να είναι σε οποιαδήποτε θέση πάνω στο χαρτί, μπορεί να είναι επίσης διαφόρων μεγεθών ,αλλά πρέπει όλα να έχουν το ίδιο σχήμα, αυτό του τέλειου κύκλου, και απαγορεύεται να τέμνονται ή να εφάπτονται μεταξύ τους.
Ερώτηση $2$: To ίδιο ακριβώς πρόβλημα, αλλά για το γράμμα $Χ$. Πόσα $Χ$ μπορείτε να γράψετε, με τις ίδιες προϋποθέσεις;
Αφού το "μαθηματικό μολύβι" μπορεί να γράψει "γράμματα κάθε μεγέθους και η μύτη του "γράφει μια γραμμή που είναι τόσο χοντρή όσο και η "μαθηματική γραμμή"", δηλαδή χωρίς πλάτος, (αδιάστατη) τότε μπορεί να γραφεί οσονδήποτε μεγάλος
ΑπάντησηΔιαγραφήαριθμός (άπειρος) Ο και φυσικά και άπειρα Χ και με πολλούς τρόπους.
Ένας τρόπος είναι να χωρισθούν οι πλευρές του τετραγώνου
σε 2,4,8,...,ν (=2^κ), ν τείνοντος στο άπειρο και να σχηματισθούν
4,8,16,...,ν^2, δηλαδή αριθμός τετραγώνων οσονδήποτε
μεγάλος (άπειρος), τα οποία θα είναι οσοδήποτε μικρά, απειροελάχιστα, αλλά θα έχουν διαστάσεις, οσονδήποτε
μικρές αλλά όχι μηδενικές και το "μαθηματικό μολύβι" , αφού γράφει γράμματα κάθε μεγέθους μπορεί να γράφει Ο με διάμετρο μικρότερη από τις πλευρές των τετραγώνων ή αντίστοιχα Χ με ύψος μικρότερο από τις απειροελάχιστες πλευρές των τετραγώνων και να γράφονται στο εσωτερικό των τετραγώνων, άρα δεν εφάπτονται και φυσικά, πόσο μάλλον,
δεν τέμνονται μεταξύ τους.
Η ορολογίες που γράφω και που τις βγάζω κατά κάποιο τρόπο
πρωτογενώς και από το μυαλό μου πιθανότατα δεν θα είναι αυστηρά μαθηματικές και "Καντοριανές" στην καλύτερη περίπτωση που είναι κάπως σωστή η προσέγγιση μου.
Στην χειρότερη περίπτωση, που η προσέγγιση μου είναι λαθεμένη, ξέρω, να επανέλθω με τον ...."κηδεμόνα" μου
και αφού φιλοτιμηθώ να διαβάσω και λίγο για το άπειρο! :-)
Eυθύμη, το αποκάτω σχόλιό μου γραφόταν σχεδόν ταυτόχρονα με το δικό σου (να συγχρονιζόμαστε καλύτερα πρέπει.. :-) ) και δεν ήταν απάντηση στο σχόλιό σου αλλά γενική υπόδειξη. Καλύπτει όμως και το πρώτο σου σχόλιο και δείχνει το δρόμο.
ΔιαγραφήΤο "λεπτό σημείο" (τελευταίο hint αυτό!) είναι η διαφοροποίηση που υπάρχει στις "αλληλοκαλύψεις-πιθανές τομές" στην περίπτωση κάθε γράμματος...
Aυτό που ουσιαστικά ρωτάει αυτό το εξαίρετο πρόβλημα ,είναι αν το σύνολο των $Ο$ (και των $Χ$ αντίστοιχα στη 2η περίπτωση) είναι όχι βέβαια απλώς ΠΟΛΥ μεγάλο ή άπειρο, αλλά "ΠΟΣΟ" άπειρο;
ΑπάντησηΔιαγραφήΜπορεί να δειχτεί, και μάλιστα χωρίς κανέναν σπουδαίο φορμαλισμό, ουσιαστικά χωρίς κανέναν τύπο, με λίγη φαντασία και διαίσθηση, πως μπορούμε να γράψουμε τα $Ο$ "μη αριθμήσιμο" άπειρο αριθμό φορών , δηλαδή το σύνολο των $Ο$ είναι αυτό που αποκαλούμε "υπεραριθμήσιμο" , ενώ για τα $Χ$ δεν συμβαίνει το ίδιο. Ο αριθμός τους είναι άπειρος αλλά αριθμήσιμος.
Για ένα γενικό,αλλά περιεκτικό "θεωρητικό υπόβαθρο" (αναζητήστε το hint που χρειάζεται στους διαφορετικούς πληθικούς αριθμούς ρητών και πραγματικών) δείτε και αυτό το κείμενο του Μ.Κολουντζάκη:
http://mk.eigen-space.org/real0910/count.pdf
Πρόσθετο hint:
ΑπάντησηΔιαγραφήΣκεφτείτε με ποιον τρόπο μπορούμε να εξασφαλίσουμε μαθηματικώς (δηλαδή "αριθμητικά") πως δύο γειτονικά σχήματα δεν εφάπτονται; Πως υπάρχει "κενό" ανάμεσά τους δηλαδή.
Το "κενό" αυτό ,ποσοτικοποιείται πολύ συγκεκριμένα στη συνολοθεωρία.
Για να μην δημιουργούνται λάθος εντυπώσεις, το αποπάνω hint αφορούσε κυρίως το $Ο&, το οποίο αντιστοιχεί σε ένα σχήμα(κύκλος) που εύκολα αναπαράγουμε ομοιόμορφα και ΠΟΛΛΑ από αυτά.. :-)
ΔιαγραφήΜία διαφορά που βλέπω, την μόνη αν θέλετε, είναι ότι το Ο σαν κύκλος που είναι σχηματικά, όπως γράφει και το αποπάνω hint-βοήθεια, μπορεί να αναπαραχθεί ομοιόμορφα σε όλο το επίπεδο του τετραγώνου, δηλαδή προς 2 διαστάσεις ταυτόχρονα χωρίς τον κίνδυνο να τμηθούν τα Ο αρκεί τα κέντρα τους να απέχουν >2r (r= ακτίνα Ο) και άρα(?) υπεραριθμήσιμο(?).
ΑπάντησηΔιαγραφήΕνώ το Χ έχει δύο διαστάσεις και δεν μπορεί να αναπαραχθεί
ταυτόχρονα και προς τις δύο διαστάσεις χωρίς τον κίνδυνο επαφής ή τομής. Πρέπει να αναπαραχθεί πρώτα κατά την μεγαλύτερη διάσταση, ας πούμε κατά την διεύθυνση των y, άπειρα μεν Χ αλλά αντιστοιχίζεται στο Ν και άρα αριθμήσιμο και μετά κατά την διεύθυνση των x 2N, 3N, 4N,... , ένωση αριθμήσιμων συνόλων, άρα (?) αριθμήσιμο.
Έκανα άλλη μία προσπάθεια σε τελείως αχαρτογράφητα για
εμένα νερά, δεν είναι η πρώτη φορά άλλωστε και μάλλον θα
είναι η τελευταία σε αυτήν την ανάρτηση !
Aν σου έδιναν ένα χαρτί κι έναν διαβήτη και σού έλεγαν "Γράψε όσους περισσότερους κύκλους ,τυχαίας ακτίνας, μπορείς!" ,τι θα έκανες Ευθύμη; Θα έγραφες κύκλους ,τον έναν δίπλα στον άλλον, ή θα προτιμούσε κάποιον άλλο τρόπο;
ΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΔιαγραφήΔεν πρόσεξα το "τυχαίας ακτίνας", οπότε με βάση αυτό και με βάση κάποια τάση προς την συμμετρία θα σχεδίαζα έναν κύκλο
ΑπάντησηΔιαγραφήστο κέντρο του χαρτιού και μετά γύρω-γύρω και ακτινωτά και με όλο και μικρότερους κύκλους μέχρι να γεμίσει το χαρτί, αλλά
αυτό δεν με οδηγάει, αναμενόμενο, σε κάποια λύση οπότε οριστικά θα περιμένω να διαβάσω την λύση!
Ένα (ή περισσότερα...) $O$ μπορεί να είναι μέσα (εντός) σε άλλο $Ο$, εφόσον δεν τέμνονται και δεν εφάπτονται.
ΑπάντησηΔιαγραφήΛογικά λοιπόν, η μη αριθμήσιμη απειρία των κύκλων μπορεί να προκύψει από ομόκεντρους κύκλους με την ακτίνα να ανήκει στο (0, ρ), όπου ρ η ακτίνα ενός αρχικού κύκλου.
Διαγραφήswt,Σωστό. Αλλά χρειάζεται ένα ουσιαστικό πρόσθετο επιχείρημα, που να δικαιολογεί στέρεα πως οι ομόκεντροι κύκλοι δεν εφάπτονται. Αν κάποιος πει "μα οι κύκλοι σου ,αφού οι ακτίνες σου αντιστοιχουν σε πραγματικούς, δεν έχουν κενά,άρα εφάπτονται!" ,πρέπει να πάρει μια απάντηση. Να τού υποδειχτεί κάποιο "κενό".
ΔιαγραφήΠαρότι δηλαδή μπορούμε να κάνουμε υπεραριθμήσιμους ομόκεντρους κύκλους, αφήνουμε μεταξύ δύο οποιονδήποτε κάποιο κενό που αντιστοιχεί σε...
ε->0;
ΔιαγραφήΜάλλον όχι ,αφού πάλι μπορεί να πει κάποιος ότι θα εφάπτονται...
ΔιαγραφήΣχεδιάζω άπειρους κύκλους οι οποίοι εφάπτονται, μετά αφαιρώ τους μισούς εναλλάξ.
ΔιαγραφήΈχω πάλι άπειρους ...οι οποίοι τώρα δεν εφάπτονται.
Από τους ομόκεντρους κύκλους πχ του σχήματος της προηγούμενης ανάρτησης, αφαιρώ τους λευκούς κύκλους!!!
ΔιαγραφήΔεν ξέρω πόσο μεγάλο είναι το κενό, αλλά το επιχείρημα μου φαίνεται και λογικό και ωραίο!
ΔιαγραφήΕυχαριστώ κε Κωτσιόπουλε και swt για τα σχόλια και το ενδιαφέρον!
ΑπάντησηΔιαγραφήMάλλον είναι η ώρα να λυθεί ο γόρδιος δεσμός, όσον αφορά τα Ο. Το ζήτημα είναι πως «αφαιρώ τα μισά» είναι μια κενή περιεχομένου έννοια. Ποια μισά; Και από ποιο σύνολο ακτίνων; H απάντησή μας σ'αυτό δεν μπορεί να είναι γενική,αλλά πρέπει να είναι πολύ συγκεκριμένη και ποσοτικοποιημένη.
Και, ένα ζήτημα λογικής συνέπειας: η όποια ενέργειά μας, δεν μπορεί να είναι «εκ των υστέρων». Δηλαδή γράφω το σύνολο(?) και μετά αφαιρώ! Είναι σημαντικό πως εδώ τα άπειρα είναι διαβαθμισμένα. Το άπειρο των ρητών είναι Αλεφ 0 δηλαδή αριθμήσιμο ,αντιστοιχίσιμο ένα προς ένα στους φυσικούς ,ενώ το άπειρο των πραγματικών ,το υπεραρηθμίσιμο ή μη αριθμησιμο είναι Αλεφ1.
Υπάρχει ένα σαφώς ορισμένο και πυκνό (πολύ σημαντικό αυτό!) γνήσιο υποσύνολο του R στην περίπτωσή μας ,το σύνολο των ρητών Q, το οποίο έχει –ακριβώς λόγω της πυκνότητάς του- την μαγική ιδιότητα ,μεταξύ δύο αρρήτων να υπάρχει πάντα ένας ρητός. Οπότε αν απλώς ΔΕΝ γράψω κανέναν κύκλο με ρητή ακτίνα, εξασφαλίζω το απαιτούμενο «κενό» μεταξύ δύο οποιωνδήποτε κύκλων! Και οι εναπομείναντες κύκλοι είναι υπεραρηθμίσιμα άπειροι .
Απομένει λοιπόν να βρεθεί ένα επιχείρημα του γιατί κάτι ανάλογο δεν μπορεί να συμβεί για τα $Χ$ ,των οποίων το άπειρο είναι αριθμήσιμο, μικρότερου πληθάριθμου από αυτόν των $Ο$.
Το επιχείρημα δε αυτό, όπως και για τα Ο με τους ομόκεντρους κύκλους, μπορεί να είναι καθαρά γεωμετρικό!
Πράγματι, η αφαίρεση κάθε δεύτερου κύκλου ξεκινώντας από τον εξωτερικό δημιουργεί μια λογική αντίφαση δεδομένου ότι υποθέτουμε υπεραριθμήσιμους κύκλους και στη συνέχεια αφαιρούμε τους μισούς με αριθμήσιμο τρόπο. Όμως δεν υπάρχει μια αντίστοιχη αντίφαση, όταν λέμε ότι μεταξύ δυο άρρητων υπάρχει πάντα ένας ρητός τον οποίο μπορούμε να αφαιρέσουμε, ώστε να μην έχουμε επαφή; Αν μπορούμε να αφαιρούμε εναλλάξ δεν θα έπρεπε και οι άρρητοι να είναι αριθμήσιμοι;
ΔιαγραφήΣωτήρη (swt), η ερώτησή σου είναι όχι μόνο εύλογη, αλλά και η πιο to the point αναμφισβήτητα που μπορεί να τεθεί. Γεγονός είναι πως η διαίσθησή μας ,όταν αυτή πρέπει να προσεγγίσει τα απειροσύνολα, δέχεται γερά «χτυπήματα» και πολλές φορές ίσως να είναι και ανεπαρκής .
ΔιαγραφήΟ σχετικός φορμαλισμός είναι στέρεα αγκυρωμένος στο «διαγώνιο επιχείρημα» (ή αλλιώς: «διαγωνοποίηση» )του Κάντορ, ένα από τα λαμπρότερα επιτεύγματα της ανθρώπινης σκέψης ,τόσο λαμπρό που γίνεται εύκολα κατανοητό κι από ένα μικρό παιδί κι όμως τόσο βαθύ και με τόσες φανταστικές συνέπειες και εφαρμογές, και από τις τομές του Ντέντεκιντ, οι οποίες αποδεικνύουν την πληρότητα των πραγματικών αριθμών χωρίς το αξίωμα της επιλογής ,και που –επί της ουσίας- λένε πως όλοι οι ρητοί περιγράφονται από κάποια τομή, ΑΛΛΑ υπάρχουν τομές που δεν αντιστοιχούν σε ΚΑΝΕΝΑ ρητό ,κι αυτές ακριβώς οι δεύτερες τομές ορίζουν τους άρρητους.
Η διαίσθηση όμως είναι πάντα πρόκληση για το νου, και θα επιχειρήσω να δώσω τη διαισθητική εξήγηση στον προβληματισμό σου χωρίς φορμαλισμό ή έστω με ελάχιστο.
Το θέμα είναι πως δεν υπάρχει ένας μόνο ρητός μεταξύ αρρήτων ,ούτε το αντίστροφο ασφαλώς. Αν ίσχυε αυτό θα είχαμε ένα πραγματικό παράδοξο. Πρόσεξε τι γίνεται. Για ΠΟΛΛΑ διαφορετικά ζευγάρια αρρήτων θα επιλέγαμε τον ίδιο ρητό στο ενδιάμεσο διάστημα. Η σκέψη σου ,που είναι σωστή, μεταφρασμένη σε μαθηματική γλώσσα, τι σημαίνει; Σημαίνει πως υπάρχει μια αντιστοίχιση (απεικόνιση με αυστηρή ορολογία) από διατεταγμένα ζεύγη αρρήτων στους ρητούς ΚΑΙ μια απεικόνιση από διατεταγμένα ζεύγη ρητών στους αρρήτους. ΕΔΩ όμως οι ομοιότητες τελειώνουν. Καμία απ’αυτές τις δύο απεικονίσεις δεν έχει κάποια ειδική ιδιότητα. Συγκεκριμένα η 1η ΔΕΝ είναι «ένα προς ένα» ,δηλαδή πολλά ζευγάρια αρρήτων απεικονίζονται στον ΙΔΙΟ ρητό, και η 2η ΔΕΝ είναι «επί» ,δηλαδή πολλοί άρρητοι δεν αντιστοιχίζονται από κανένα διατεταγμένο ζεύγος ρητών). Και οι ρητοί και οι άρρητοι είναι μεν «πυκνοί στους πραγματικούς» (dense in the reals) –πράγμα που εξηγεί και τη λύση και την παρατηρησή σου- αλλά αυτό δεν σημαίνει πως υπάρχει «ένα προς ένα» αντιστοίχιση μεταξύ τους. Πώς να το πω αλλιώς, δεν ξέρω. Η «μετρησιμότητα» δεν αντικρούει την «πυκνότητα». Οι ρητοί μαζί με τους άρρητους γενικά (για να μη βάλουμε και τους υπερβατικούς στο χορό..) συνιστούν ένα πεπλεγμένο «όλον» ,αλλά η «διάστασή» τους είναι διαφορετική. Είναι-αποδεδειγμένα!- διαφορετικής τάξης άπειρα. Μπορούμε να το σκεφτούμε λίγο ίσως σαν μία κλωστή που αντιστοιχεί στους ρητούς που γύρω της έχει πολλές, πάρα πολλές άλλες κλωστές(τους υπόλοιπους πραγματικούς) που πλέκονται σε ένα κουβάρι. Η μια κλωστή κάνει γειτονιά με όλες τις άλλες .
(συνεχίζεται...)
( σε συνέχεια..)
ΔιαγραφήΥπάρχουν πιο πολλοί άρρητοι μεταξύ οποιωνδήποτε δύο ρητών απότι υπάρχουν ρητοί μεταξύ δύο αρρήτων. Κάπως πιο ποσοτικοποιημένα ,αυτό που μπορούμε να πούμε είναι πως υπάρχουν αμέτρητα πολλά ΣΥΝΟΛΑ ρητών. Αν α<β και γ<δ είναι διακριτά ζεύγη άρρητων αριθμών, τότε το σύνολο των ρητών στο διάστημα (α,β) είναι διακριτά διαφορετικό από το σύνολο των ρητών στο (γ,δ).
Για παράδειγμα, αν ισχύει β<δ , τότε υπάρχει ένας ρητός αριθμός ,έστω ρ, στο διάστημα (max(β,γ),δ), και έτσι ο ρ ανήκει στο διάστημα (γ,δ) αλλά ΟΧΙ και στο (α,β). Πιο συγκεκριμένα και γενικά, αυτό που συμβαίνει είναι ότι τα σύνολα των ρητών στα διαστήματα της μορφής (0,β) είναι διαφορετικά καθώς το β «παίζει» ,παίρνει δηλαδή τιμές στους θετικούς άρρητους (ή πραγματικούς) αριθμούς.
Όσο πλάγιο ίσως επιχείρημα να φαντάζει το παραπάνω, εντέλει όλα ανάγονται στο διαγώνιο επιχείρημα που αποδεικνύει την υπεραριθμισιμότητα των πραγματικών το οποίο είναι ισοδύναμο λογικά και εξίσου ισχυρό και σπουδαίο με το ότι το σύνολο των υποσυνόλων κάθε αριθμήσιμου συνόλου είναι μη-αριθμήσιμο! (υπεραριθμήσιμο). Το μεγαλείο δε της καντοριανής σκέψης είναι πως το αριθμήσιμο σύνολο που χρειάστηκε για να το δείξει αυτό, ήταν απλά τα ψηφία 0 και 1.
Ξέρω πως ξέφυγα μάλλον και πλατείασα, αλλά τέτοια θέματα και απλές αλλά βαθιές ερωτήσεις, όπως αυτή που έκανες, με εξιτάρουν. Για σένα που είσαι και μετρ των πιθανοτήτων, θα σού αρέσει ίσως και ένα άλλο διαισθητικό επιχείρημα που έχω κατά νου σχετικά με το «υπεράριθμον» των αρρήτων έναντι των ρητών. Ξέχνα τις διαγωνοποιήσεις, ξέχνα τα σύνολα των υποσυνόλων ,ξέχνα τα όλα!
Τι σημαίνει ρητός αριθμός, εκφρασμένος δεκαδικά; Σημαίνει ένας αριθμός με πεπερασμένη δεκαδική αναπαράσταση, π.χ το 0,25 που είναι το ίδιο με το 0,2500000… ή το 0,3333… ή με περιοδική. Π.χ το 3,37373737…
Σκέψου τώρα με όρους πιθανοτήτων. Πάρε το μολύβι και γράψε (ρίχνοντας ας πούμε ένα δεκάπλευρο ζάρι για τα 0,1,2,..,9) διαδοχικά ψηφία. Κάθε ψηφίο έχει 1 στις 10 πιθανότητες να γραφεί. Πόσο πιθανό είναι να πάρεις (τυχαία!) ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο; Ή άπειρα μηδενικά μετά από κάποιο ψηφίο;
ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΠΙΘΑΝΟ! Σίγουρα δε, όσο οι ακολουθίες των ψηφίων μεγαλώνουν αυτή η πιθανότητα τείνει στο 0. Ε, αυτή η σχεδόν μηδενική πιθανότητα , αυτά τα «απίθανα ή ελάχιστα πιθανά ενδεχόμενα» είναι οι ρηττοί και το άπειρό τους. Ό,τι μένει συμπληρωματικά (τα πλεόν πιθανά δηλαδή) είναι οι άρρητοι.
Σ' ευχαριστώ Γιώργο για τον κόπο που μπήκες και για τις ωραίες επεξηγήσεις που έδωσες. Ο βασικός προβληματισμός μου αφορά στο κατά πόσο μπορούμε να ισχυριζόμαστε ότι μετά την αφαίρεση των ρητών δεν υπάρχει επαφή των κύκλων που παραμένουν. Σκεφτόμουν, ότι αν η επαφή δυο κύκλων σημαίνει ότι έχουν κάποιο κοινό σημείο, τότε ούτε πριν την αφαίρεση των ρητών υπήρχε επαφή, ενώ αν η επαφή σημαίνει ότι η απόσταση δύο κύκλων είναι οσοδήποτε μικρή ή ότι τείνει στο μηδέν, τότε και μετά την αφαίρεση των ρητών εξακολουθεί να υπάρχει επαφή.
ΔιαγραφήΣωτήρη, άλλη μία ενδιαφέρουσα και βαθιά ρητορική ερώτηση. Η πλάκα είναι πως βάζεις θέματα μέσα σε 3-4 άντε 10 σειρές ,που δεν απαντιούνται εύκολα ,όχι απο σχόλιο,αλλά ούτε από πραγματείες και βιβλία ολάκερα! :-)
ΔιαγραφήΊσως να έχεις κάποιο δίκιο,πως η αφαίρεση των ρητών να είναι "υπερβάλλον ζήλος" αλλά ούτως ή άλλως το θέμα είναι καθαρά ιδεατό και αφορά πάντα το "εν δυνάμει" άπειρο και όχι το "εν ενεργεία". Τώρα δεν θα γυρίσω στην Ελεατική σχολή και στον Αριστοτέλη ,ούτε καν στον Τζορντάνο Μπρούνο :-) γιατί πρέπει και να κοιμηθούμε, αλλά δες το θέμα από την σκοπιά της "δυνατότητας" και μόνο. Aφαιρώντας τους ρητούς ,τι κάνουμε; Δημιουργούμε τοπικές μεν αλλά εκτεταμένες, (παντού σχεδόν πάνω στον άξονα των πραγματικών!) ασυνέχειες. Υπάρχουν άπειρες ακολουθίες αρήτων που προσεγγίζουν (από κάτω κι από πάνω) ένα ρητό όριο. Βγάζοντας τους λοιπόν αυτό το όριο,και το κυριότερο επειδή ΜΠΟΡΟΥΜΕ να βγάλουμε ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΑ και ΑΡΙΘΜΗΜΕΝΑ και ΔΙΑΔΟΧΙΚΑ αυτά τα όρια!, δημιουργούμε ένα σαφώς ορισμένο "κενό" που ουδόλως βέβαια περιορίζει την εγγενή δυνατότητα των αρήτων να προσεγγίζουν ΟΣΟ ΠΟΛΥ θέλουν ,αλλά...μέχρις εκεί. Θεωρώντας λοιπόν (στα πλαίσια του προβλήματος πλέον) πως η "μαθηματική γραμμή" γράφει έναν αριθμό (μια συγκεκριμένου πλήθους ακολουθία ψηφίων) η έλλειψη των ρητών, παρότι ούτε κατ'ελάχιστο δεν υποβιβάζει το υπεραριθμίσιμο αυτών που μένουν ,εξασφαλίζει μια μίνιμουμ "γεωμερική απόσταση' (με την παραδοχή πως η μολυβιά μας καλυπτει την περιφέρεια που αντιστοιχεί στο κέντρο του χαρτιού και ακτίνα ΟΣΟΔΗΠΟΤΕ ακριβή και μονοσήμαντη θέλουμε)
Για τα $Χ$, το -ονομάζω αυθαίρετα και συγγνώμη- "φθίνον ακτινωτό" επιχείρημα του Ευθύμη,στο σχόλιο "22 Μαρτίου 2014 - 10:57 μ.μ" δείχνει μια εφαρμόσιμη σωστή κατεύθυνση. Αρκεί δε η εξέταση μίας "ακτίνας"...
ΑπάντησηΔιαγραφήΜια προσέγγιση του θέματος για τα Χ θα μπορούσε να είναι η εξής:
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν θεωρήσουμε ένα Χ, οποιουδήποτε πεπερασμένου μεγέθους, ως ιδεατά τοποθετημένο μέσα σε έναν περιγεγραμμένο κύκλο, τότε κανένα άλλο Χ μεγαλύτερου ή ίσου μεγέθους δεν μπορεί να χωρέσει πλήρως μέσα στο συγκεκριμένο κύκλο. Εκφράζουμε το μέγεθος ενός Χ με την ακτίνα ρ του περιγεγραμμένου κύκλου.
Με αυτό το δεδομένο, είναι προφανές ότι, για οποιαδήποτε πεπερασμένη τιμή ρ, ο αριθμός των Χ που είναι μεγέθους μεγαλύτερου ή ίσου του ρ και χωράνε στη σελίδα είναι πεπερασμένος, αφού ο αριθμός αυτός δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από το πηλίκο της επιφάνειας της σελίδας προς την επιφάνεια ενός κύκλου ακτίνας ρ.
Μπορούμε λοιπόν να διαμερίσουμε το σύνολο όλων των Χ που υπάρχουν στο χαρτί σε υποσύνολα / κατηγορίες μεγεθών, με βάση μια πεπερασμένη τιμή του ρ, π.χ. ως εξής: Χ μεγέθους > ρ, Χ μεγέθους > ρ/2, Χ μεγέθους > ρ/4, Χ μεγέθους > ρ/8 κ.ο.κ.. Αντιστρόφως, η ένωση όλων αυτών των υποσυνόλων, μάς δίνει το σύνολο όλων των Χ πάνω στο χαρτί.
Αφού όμως καθένα από αυτά τα υποσύνολα είναι πεπερασμένο, ενώ η ένωσή τους περιλαμβάνει αριθμήσιμο πλήθος τέτοιων υποσυνόλων, τότε και η ίδια η ένωση θα είναι ένα αριθμήσιμο σύνολο. Στην καλύτερη περίπτωση, θα είναι ένα αριθμήσιμα άπειρο σύνολο.
Αναδιατύπωση, για περισσότερη σαφήνεια:
ΔιαγραφήΑν θεωρήσουμε ένα Χ, οποιουδήποτε πεπερασμένου μεγέθους, ως ιδεατά τοποθετημένο μέσα σε έναν περιγεγραμμένο κύκλο, τότε κανένα άλλο Χ μεγαλύτερου ή ίσου μεγέθους δεν μπορεί να έχει το κέντρο του μέσα στο συγκεκριμένο κύκλο.
Θανάση, αυτό είναι, μπράβο!
ΔιαγραφήΤα είπες όλα εξαιρετικά και με ακρίβεια! Δεν χρειάζεται να προσθέσω από μεριάς μου οτιδήποτε.
Eιδικά η εποπτεία που δημιουργεί η "εγγραφή" του $X$ σε κύκλο (αφού συνδέει και με τα των $Ο$) είναι πολύ καλή!
ΥΓ. Για ένα παρόμοιο ωραίο πρόβλημα, δείτε και εδώ:
http://kolount.wordpress.com/2008/05/07/%CF%80%CF%8C%CF%83%CE%B1-%CE%BF%CF%87%CF%84%CE%AC%CF%81%CE%B9%CE%B1-%CE%BC%CF%80%CE%BF%CF%81%CE%B5%CE%AF%CF%84%CE%B5-%CE%BD%CE%B1-%CE%BA%CE%AC%CE%BD%CE%B5%CF%84%CE%B5/
Να ‘σαι καλά Γιώργη! Σπουδαίο το θέμα σου και πάλι αλλά και ιδιαιτέρως δύσκολο, μιας και αφορά στο άπειρο και τις διακρίσεις του. Ωστόσο, η εξαιρετική παραστατικοποίηση που έδωσες με τα διαφορετικής τάξης άπειρα πλήθη των Ο και των Χ, σε καθιστά άξιο κληρονόμο του καντοριανού παραδείσου! :-)
ΑπάντησηΔιαγραφή