Δίνεται ένα κυρτό πολύγωνο στο οποίο δεν μπορεί να χωρέσει κανένα τρίγωνο με εμβαδόν $1$. Μπορεί αυτό το πολύγωνο να χωρέσει σε τρίγωνο με εμβαδόν ίσο με $4$;
Θεωρούμε ένα πολύγωνο στο οποίο το μεγαλύτερο τρίγωνο, έστω $AiAjAk$ , έχει εμβαδόν που τείνει στο $1$ και κανένα τρίγωνο που μπορεί να τοποθετηθεί στο πολύγωνο να μην έχει εμβαδόν μεγαλύτερο του $AiAjAk$ (πχ, που μου έρχεται εύκολα στον νου, ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς που τείνει στο $1,51967..$ και περιγεγραμμένο σε αυτό κύκλο. Οποιοδήποτε τρίγωνο που οι κορυφές του βρίσκονται στην περιφέρεια του κύκλου, πόσο μάλλον μέσα στον κύκλο δεν μας δίνει εμβαδόν μεγαλύτερο ή ίσο του ισόπλευρου τριγώνου.) Από κάθε κορυφή του τριγώνου $AiAjAk$ φέρνω παραλλήλους προς τις απέναντι πλευρές του τριγώνου, οι τομές των οποίων μας δίνουν όμοιο τρίγωνο $Ai'Aj'Ak'$ με εμβαδόν που τείνει στο $4$ .Σε οποιοδήποτε κυρτό πολύγωνο που σχηματίζεται απ;o τις κορυφές $Ai,Aj,Ak$ και εκτείνεται προς το καθένα από τα τρία ίσα προς το αρχικό τρίγωνα που κατασκευάσαμε δεν μπορεί να χωρέσει τρίγωνο εμβαδού $1$ και όλα χωράνε σε τρίγωνο εμβαδού που τείνει στο $4$ και φυσικά σε τρίγωνο εμβαδού ίσου με $4$ .
Θεωρούμε ένα πολύγωνο στο οποίο το μεγαλύτερο τρίγωνο,
ΑπάντησηΔιαγραφήέστω $AiAjAk$ , έχει εμβαδόν που τείνει στο $1$ και κανένα
τρίγωνο που μπορεί να τοποθετηθεί στο πολύγωνο να μην
έχει εμβαδόν μεγαλύτερο του $AiAjAk$ (πχ, που μου έρχεται
εύκολα στον νου, ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς που τείνει στο
$1,51967..$ και περιγεγραμμένο σε αυτό κύκλο. Οποιοδήποτε
τρίγωνο που οι κορυφές του βρίσκονται στην περιφέρεια του
κύκλου, πόσο μάλλον μέσα στον κύκλο δεν μας δίνει εμβαδόν
μεγαλύτερο ή ίσο του ισόπλευρου τριγώνου.)
Από κάθε κορυφή του τριγώνου $AiAjAk$ φέρνω παραλλήλους
προς τις απέναντι πλευρές του τριγώνου, οι τομές των οποίων μας δίνουν όμοιο τρίγωνο $Ai'Aj'Ak'$ με εμβαδόν που τείνει στο $4$ .Σε οποιοδήποτε κυρτό πολύγωνο που σχηματίζεται απ;o τις
κορυφές $Ai,Aj,Ak$ και εκτείνεται προς το καθένα από τα τρία ίσα προς το αρχικό τρίγωνα που κατασκευάσαμε δεν μπορεί να χωρέσει τρίγωνο εμβαδού $1$ και όλα χωράνε σε τρίγωνο
εμβαδού που τείνει στο $4$ και φυσικά σε τρίγωνο εμβαδού ίσου με $4$ .
Υ.Γ. Παράλειψη μου...
ΔιαγραφήΚαλή Χρονιά κ. Ρωμανίδη!
Καλή Χρονιά κ. Φραγκάκη και χαιρόμαστε που δεν μας ξεχάσατε!
Καλή χρονιά κ. Ευθυμίου, να είστε καλά! Πολύ ωραίες οι λύσεις σας ...
ΑπάντησηΔιαγραφή