"Αποστολή της επιστήμης είναι να μετατρέπει το μυστηριώδες σε τετριμμένο"
Νιλς Μπορ
$1.$ Σε κάποια γωνιά του Σύμπαντος υπάρχει μια ομάδα σφαιρικών πλανητών . Όλοι οι πλανήτες έχουν το ίδιο μέγεθος , και στην επιφάνεια καθενός πλανήτη υπάρχει μια περιοχή η οποία είναι αθέατη από τους άλλους πλανήτες. Αποδείξτε πως το άθροισμα των "αόρατων" επιφανειών όλων των πλανητών ισούται με την ολική επιφάνεια ενός πλανήτη.
$2.$ Σε ένα ευθύγραμμο κομμάτι λαστιχάκι ,ασκούνται δύο ίσου μέτρου και αντίθετης φοράς δυνάμεις στα άκρα του, που τεντώνουν το λαστιχάκι. Υπάρχει πάντα κάποιο σημείο ή σημεία από το λαστιχάκι που δεν κινούνται καθόλου;
Σημ. Το ζητούμενο μπορεί ν'αποδειχθεί με Ανάλυση και διαφορικό λογισμό,μετά από κάποιες απλές στη λογική αλλά τεχνικά κάπως εξηζητημένες διαδικασίες. Εδώ, δεν ζητείται κάτι τέτοιο. Ζητείται ένα πρακτικό, διαισθητικό επιχείρημα ,αλλά ισχυρό λογικά, που τεκμηριώνει το ότι υπάρχει τέτοιο σημείο (ή σημεία). Χωρίς κανέναν "τύπο" . Αρκεί κάποιο σχηματάκι και λίγη Ευκλείδεια γεωμετρία της..."Συνέχειας".
To σχήμα αντιστοιχεί στη λύση του swt. (δείτε σχόλια).
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1. (σχήμα)
To ωραίο πρόβλημα 1. είναι από κάποιον παλιό σοβιετικό μαθηματικό διαγωνισμό. Θα βοηθούσε ίσως στην προσέγγισή του, να σκεφτεί κάποιος το "δυδιάστατο" ανάλογο πρόβλημα...
ΑπάντησηΔιαγραφήΔιευκρινίζω επίσης πως το πρόβλημα είναι ουσιαστικά τοπολογικό-διαισθητικό. Δεν απαιτεί κανέναν πολύπλοκο στερεομετρικό υπολογισμό ή κάτι τέτοιο. Αυτό άλλωστε είναι μάλλον φανερό από το underspecified της εκφώνησης. Δεν ξέρουμε ούτε τον αριθμο των ίδιων πλανητών ,ούτε αποστάσεις, ούτε τίποτε πολύ "συγκεκριμένο". Παρ'ολα αυτά μπορούμε να δείξουμε το ζητούμενο.
ΔιαγραφήΔεν μας δίνεται καμιά πληροφορία για το υλικό, επομένως δεν μπορούμε να το θεωρήσουμε εξ ορισμού ομογενές – ισότροπο, για να πούμε ότι το μέσο του δε θα μετακινηθεί. Μπορούμε όμως να πούμε με βεβαιότητα ότι είτε η παραμόρφωση γίνει συμμετρικά είτε όχι, ένα τμήμα του αρχικού κομματιού θα τεντωθεί προς τη μια (+) και ένα τμήμα θα τεντωθεί προς την άλλη (-) κατεύθυνση. Εφόσον το λαστιχάκι δε σπάει (να η συνέχεια), θα υπάρχει σίγουρα ένα σημείο, το κοινό σημείο των δύο τμημάτων, που δε θα μετακινηθεί καθόλου.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια να μην περιμένει πολύ ο αγαπητός Ευθύμης :-) (και να περιμένω εγώ τα σχόλια ή 'σχολιανά', τα δικά του και των άλλων φίλων), θα έλεγα για το 1. συνοπτικά τα εξής):
ΑπάντησηΔιαγραφήΑς φανταστούμε μια σφαίρα που στο εσωτερικό της περιέχει πλήρως όλους τους πλανήτες.
Ας πάρουμε τώρα την ακτίνα που συνδέει ένα οποιοδήποτε σημείο Α της επιφάνειας της περιέχουσας σφαίρας με το κέντρο της Ο και ας φέρουμε προς αυτή παράλληλες διαμέτρους σε κάθε πλανήτη. Τα άκρα κάθε διαμέτρου που βρίσκονται προς τη μεριά του σημείου Α ορίζουν ένα σύνολο ομόλογων μεταξύ τους σημείων, ανά ένα στην επιφάνεια κάθε πλανήτη. Το πλησιέστερο προς το Α από αυτά (κατά τη διεύθυνση ΑΟ), έστω το σημείο Β, ανήκει σε έναν από τους πλανήτες και είναι αόρατο από κάθε σημείο που ανήκει στους υπόλοιπους πλανήτες. Επιπλέον, από τον πλανήτη στον οποίο ανήκει το Β είναι ορατά όλα τα ομόλογα του Β σημεία των άλλων πλανητών.
Καθώς το σημείο Α διατρέχει όλη την επιφάνεια της σφαίρας, σε κάθε νέα θέση του προκύπτει ένα διαφορετικό σημείο Β στον ίδιο ή σε κάποιον άλλο πλανήτη. Τα σημεία αυτά Β, σε ένα πλήρες ταξίδι του Α σε κάθε σημείο της επιφάνειας της περιέχουσας σφαίρας (ταξίδι 360 μοιρών σε όλα τα επίπεδα του χώρου), διατρέχουν πλήρως τις αόρατες περιοχές σε κάθε πλανήτη.
Αν πάρουμε λοιπόν και συναρμολογήσουμε όλες αυτές τις αόρατες περιοχές, σε αντίστοιχες θέσεις, πάνω στην επιφάνεια ενός φανταστικού, ίσου με τους υπάρχοντες, πλανήτη, θα την καλύψουμε πλήρως και χωρίς αλληλεπικαλύψεις περιοχών. Επομένως, η αθροιστική αόρατη επιφάνεια όλων των πλανητών ισούται με τη συνολική επιφάνεια ενός πλανήτη.
ΥΓ: Δεν αντιλήφθηκα το σκεπτικό της αυτοεξαίρεσης του Ευθύμη από το συναγωνισμό για το πρόβλημα, εκτός κι αν η βοήθεια δόθηκε ειδικά σε εκείνον :-)
Να εξηγήσω ένα-δυο σημεία της πιο πάνω ‘απόδειξης’:
ΔιαγραφήΑν ένας πλανήτης βρισκόταν ολόκληρος μέσα στην περιοχή που ορίζεται από 2 ή περισσότερους από τους άλλους πλανήτες, τότε όλα του τα σημεία θα ήταν ορατά. Για έχουν λοιπόν όλοι οι πλανήτες κάποια αόρατη περιοχή, είναι αναγκαστική μια διάταξή τους στις κορυφές κυρτού πολυέδρου. Οι αόρατες περιοχές κάθε πλανήτη θα πρέπει να βρίσκονται προς την έξω μεριά του πολυέδρου και έτσι γίνεται παραστατικότερα η ‘οπτικοποίηση’ των σημείων Β, όπως ορίζονται πιο πάνω.
Για το λαστιχάκι θα μπορούσαμε να σκεφτούμε ως εξής:
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω ότι αρχικά το λαστιχάκι είναι ένα ευθ. τμήμα ____ και στη συνέχει γίνεται ένα μεγαλύτερο ευθ. τμήμα ______. Μπορούμε να σκεφτούμε το ένα τμήμα κάτω από το άλλο και να τα ενώσουμε σημείο προς σημείο. Τα ακριανά σημεία αριστερό και δεξί ενώνονται με τα τμήματα / και \ αντίστοιχα. Λόγω της συνέχειας είναι σχεδόν προφανές ότι θα περάσουμε κι από τη θέση |, η οποία δηλώνει ότι ένα τουλάχιστον σημείο παραμένει στη θέση του.
Καλημέρα και ευχαριστώ για τα σχόλια και τις ιδέες!
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια το θέμα 2. (λαστιχάκι) πρόσθεσα στην ανάρτηση το σχήμα που ανταποκρινεται στην ωραία απόδειξή του swt. και που είναι ανεξάρτητη από το ισότροπον και ομογενές του υλικού,που όντως παίζει ρόλο στον προσδιορισμό των σημείων που μένουν αμετακίνητα, άρα και πιο γενική και "αυστηρή".
Oι πράσινες ευθείες ενώνουν τα ίδια σημεία στην αρχική και τελική τους θέση. Λόγω συνέχειας ,τουλάχιστον μία απ'αυτές τις γραμμές πρέπει να είναι κάθετη και στις δύο "βάσεις" του τραπεζίου (χαλαρό και τεντωμένο λαστιχάκι , αντίστοιχα). Q.E.D
Για το πρόβλημα 1.:
ΑπάντησηΔιαγραφήΠολύ ωραία η απόδειξη του Papadim! Συγχαρητήρια!
Μια εναλλακτική οπτική-προσέγγιση είναι να φανταστούμε τους πλανήτες περυτιλιγμένους σε ένα τεντωμένο καλά νάυλον-ζελατίνα. Το περυτύλιγμα καλύπτει το εξώτερο "όριο" του συστήματος και σχηματίζει προφανώς διάφορες επιφάνειες (όπως τμήματα επιφάνειας κυλίνδρων κ.λ.π) και εκεί όπου σκεπάζει-καλύπτει/εφάπτεται πλήρως στους πλανήτες σχηματίζει σφαιρικά τόξα. Μιας και τοπολογικά το κάλυμα (ακριβώς όπως η σφαίρα στην ιδέα του papadim, γι'αυτό και τοπολογικά είναι ισοδύναμα) είναι ένας κλειστός 3d βρόχος to αλγεβρικό άθροισμα μιας "πλήρους διαδρομής/γωνίας περιστροφής" των τόξων είναι $2π$ . Τα σφαιρικά τόξα δηλαδή όχι μόνο αντιστοιχούν στα αθέατα μέρη των πλανητών ,αλλά προστιθέμενα "κατασκευάζουν" έναν πλήρη πλανήτη, αλλιώς ο βρόχος δεν θα "έκλεινε". Για 2 πλανήτες ας πούμε ,αυτό είναι εύκολα εννοήσιμο. Τυλίγουμε στο φίλμ και είναι προφανές πως υπάρχουν από ένα αθέατο ημισφαίριο. Είναι ακριβώς η ιδέα που έχω προσθέσει στην ανάρτηση για το 2d ανάλογο. Το ολικό μήκος της ταινίας-ζώνης που περισφίγγει τους τρεις ίσους κυκλους ισούται με το άθροισμα των αποστάσεων των κέντρων
$ΑΒ +ΒΓ +ΓΑ$ + το μήκος μιας πλήρους περιφέρειας ( $2πρ$ )
Ευχαριστώ Γιώργο, για τα καλά σου σχόλια και, κυρίως, για την παραστατικότατη εναλλακτική προσέγγιση, ομολογουμένως πολύ πιο εύληπτη και εποπτική από την μάλλον αρκετά τεχνική δική μου.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕπίτρεψέ μου να προσθέσω δυο λέξεις στο εξυπνότατο εύρημα της ζελατίνας: Με την περιτύλιξη και τάνυση της ζελατίνας γύρω από τους πλανήτες, οι μόνες επιφάνειές της που αποκτούν σφαιρική καμπυλότητα είναι ακριβώς οι εξώτερες, σκοτεινές επιφάνειες των πλανητών, όλες τους ακτίνας καμπυλότητας ρ (η ακτίνα κάθε πλανήτη). Ολοκληρώνοντας, ούτως ειπείν, τις επιφάνειες αυτές για το σύνολο των πλανητών, έχουμε μια πλήρη σφαιρική επιφάνεια ακτίνας ρ, που 'δίνει' ακριβώς την επιφάνεια ενός πλανήτη.
Πολύ ωραίο πρόβλημα, φαντασίας και λογικής, και πολλά μπράβο σε σένα για την επιλογή και την όμορφη εποπτικοποίησή του! Και, εξυπακούεται αλλά δε βλάπτει να το λέμε, ευκολάκι δεν το λες (ακόμα και με την υπόδειξη για το δισδιάστατο ανάλογο)! :-)
Πολύ ωραία, οπτική, στερεομετρία, γλωσσοπλασία (σχοινοπολύγωνα), big bang και πολλαπλά σύμπαντα, μήλα και πορτοκάλια, όλα τα 'χει ο μπαχτσές. Και φυσικά το γεγονός ότι όλα αυτά χώρεσαν μέσα σε ένα μόλις σχόλιο συνιστά απόλυτα πειστική απόδειξη της απλότητας και ευκολίας του προβλήματος :-).
ΑπάντησηΔιαγραφήΜε αφορμή όλα αυτά, ήθελα, απευθυνόμενος στο εξαίρετο υπόβαθρο κλασικής παιδείας που χαρακτηρίζει όλη αυτή την παρέα, να μνημονεύσω μια κανονιστική ρήση ενός σπουδαίου μεσαιωνικού φιλοσόφου, που έδωσε το όνομά του σε μια πολύ γνωστή επιστημονική αρχή: entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem. Ευπρόσδεκτες οι απαντήσεις των φίλων που γνωρίζουν περί ποίου φιλοσόφου πρόκειται.
Και για να μην ξεφεύγουμε από το βασικό αντικείμενο ενδιαφέροντος αυτής εδώ της παρέας, σε συνάφεια και με το πιο πάνω πρόβλημα των πλανητών, έχω να προτείνω σε όσους θα ήθελαν να ασχοληθούν τον εξής ισχυρισμό:
Αν κοιτάξουμε όλα τα επίπεδα που ορίζονται από τα κέντρα των συγκεκριμένων πλανητών (ανά τρία ή περισσότερα), τότε θα βρούμε οπωσδήποτε δύο τουλάχιστον από αυτά τα επίπεδα που περιλαμβάνουν ισάριθμα κέντρα πλανητών. Αποδείξεις (ή τυχόν διαψεύσεις) του ισχυρισμού επίσης ευπρόσδεκτες.
Συμπλήρωση στο πρόσθετο πρόβλημα των πλανητών: ο ισχυρισμός ισχύει για αριθμό πλανητών μεγαλύτερο του 3 που τα κέντρα τους δεν ανήκουν όλα στο ίδιο επίπεδο.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕυχαριστώ το swt για την υπόμνηση.
Θανάση, σε ήξερα για Μακεδόνα, αλλά το αποπάνω σχόλιό σου σε κάνει ..Λακεδαιμόνιο. :-)
ΔιαγραφήAνέπτυξε λίγο την απάντηση,αν δε σου κάνει κόπο, για χάρη του φιλοθεάμονος και φιλομαθούς κοινού! :-)
Eυχαριστώ εκ των προτέρων!
Ό,τι πει ο φίλος μου ο Ρουμελιώτης, ο λεβέντης ο τσολιάς!!
ΑπάντησηΔιαγραφήΠροφανώς, το πρόβλημα ανάγεται στο να δείξουμε ότι μεταξύ των εδρών οποιουδήποτε κυρτού πολυέδρου, θα υπάρχουν πάντα δύο με ίσο αριθμό κορυφών / ακμών.
Δέχομαι λοιπόν ότι δεν ισχύει ο ισχυρισμός και έστω Ε η έδρα του κυρτού πολυέδρου με τον μέγιστο αριθμό κορυφών / πλευρών ν. Αν οι ν στο πλήθος όμορες της Ε έδρες (δηλαδή οι έχουσες με την Ε από μία κοινή ακμή) είχαν καθεμιά τους διαφορετικό αριθμό κορυφών, από 3 το ελάχιστο έως ν-1 το μέγιστο, θα είχαμε ν-3 διαθέσιμους αριθμούς κορυφών για ν έδρες. Συνεπώς, αναγκαστικά (σύμφωνα με την αρχή Dirichlet / Rizopoulos (!!), γνωστή και ως pigeonhole principle), δύο τουλάχιστον από αυτές θα πρέπει να έχουν τον ίδιο αριθμό κορυφών.