Δύο ωραίοι γρίφοι

"Αποστολή της επιστήμης είναι να μετατρέπει το μυστηριώδες σε τετριμμένο"

Νιλς Μπορ

$1.$ Σε κάποια γωνιά του Σύμπαντος υπάρχει μια ομάδα σφαιρικών πλανητών . Όλοι οι πλανήτες έχουν το ίδιο μέγεθος , και στην επιφάνεια καθενός πλανήτη υπάρχει μια περιοχή η οποία είναι αθέατη από τους άλλους πλανήτες. Αποδείξτε πως το άθροισμα των "αόρατων" επιφανειών όλων των πλανητών ισούται με την ολική επιφάνεια ενός πλανήτη.

$2.$ Σε ένα ευθύγραμμο κομμάτι λαστιχάκι ,ασκούνται δύο ίσου μέτρου και αντίθετης φοράς δυνάμεις στα άκρα του, που τεντώνουν το λαστιχάκι. Υπάρχει πάντα κάποιο σημείο ή σημεία από το λαστιχάκι που δεν κινούνται καθόλου;

Σημ. Το ζητούμενο μπορεί ν'αποδειχθεί με Ανάλυση και διαφορικό λογισμό,μετά από κάποιες απλές στη λογική αλλά τεχνικά κάπως εξηζητημένες διαδικασίες. Εδώ, δεν ζητείται κάτι τέτοιο. Ζητείται ένα πρακτικό, διαισθητικό επιχείρημα ,αλλά ισχυρό λογικά, που τεκμηριώνει το ότι υπάρχει τέτοιο σημείο (ή σημεία). Χωρίς κανέναν "τύπο" . Αρκεί κάποιο σχηματάκι και λίγη Ευκλείδεια γεωμετρία της..."Συνέχειας".

To σχήμα αντιστοιχεί στη λύση του swt. (δείτε σχόλια).

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1. (σχήμα)