Τρίτη 17 Δεκεμβρίου 2013

$(HFG)=?$

Στο παρακάτω σχήμα είναι $BD=DE=EA$ και $F$ μέσο της $AC$. Αν το εμβαδόν του τριγώνου $DEG$ είναι $18$, να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου $HFG$. 
ARML Competition 2012
Αναρτήθηκε από στις 17.12.13
Ετικέτες , , ,

2 σχόλια:

  1. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ18 Δεκεμβρίου 2013 στις 9:01 π.μ.

    Έστω $F_{1}$ και $F_{2}$ οι προβολές του $F$ στις $CE$ και $AB$ αντίστοιχα
    και $D_{1}$ σημείο της $BF$, έτσι ώστε .$D D_{1} / /F F_{2}$
    Από ομοιότητα τριγώνων έχουμε

    $F F_{1} = \frac{1}{2}EA= \frac{1}{2}DE $

    $GE = \frac{1}{1,5}F F_{2}= \frac{1}{1,5}\times 2,5 D D_{1}= \frac{2,5}{1,5} \times3 HG=5HG $

    Άρα $(HFG)= \frac{1}{2 } \times \frac{1}{5}\times (DEG)= \frac{1}{10}\times18=1.8 $

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Κουνελοϊός6 Ιανουαρίου 2014 στις 8:26 μ.μ.

    Υπάρχει και άλλος τρόπος. Εφαρμόζω θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο ADF με τέμνουσα CGE και έχω: (AE/DE)*(DG/FG)*(CF/AC)=1, όμως AE=DE, AC=2CF, οπότε προκύπτει: (DG/FG)*(1/2)=1, ή DG/FG=2. Από την τελευταία σχέση προκύπτει: DG=2FG. Όμως DF=DG+FG=2FG+FG=3FG, οπότε FG=(1/3)*DF. Εφαρμόζω τώρα το ίδιο θεώρημα για το τρίγωνο DEG με τέμνουσα BHF: (BD/BE)*(EH/GH)*(FG/DF)=1. Τώρα BE=2BD, οπότε (1/2)*(EH/GH)*(1/3)=1, ή EH/GH=6, ή EH=6GH. Όμως EH=EG+GH, δηλαδή 6GH=EG+GH, ή EG=5GH, ή EG/GH=5. Τελικά: (DEG)/(FGH)=(DG*EG)/(FG*GH)=(DG/FG)*(EG/GH)=2*5=10, αφού τα δύο αυτά τρίγωνα έχουν τις γωνίες DGE και FGH ίσες ως κατακορυφήν. Άρα (FGH)=(1/10)*(DEG)=(1/10)*18=1,8.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)