Πέμπτη 12 Δεκεμβρίου 2013

Ορθογώνιο και εξωτερικές διχοτόμοι

Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου $PSQ$, που σχηματίζουν οι εξωτερικές διχοτόμοι του $\displaystyle ABC$.
ορθογώνιο και εξωτερικές διχοτόμοι.png
Αναρτήθηκε από στις 12.12.13
Ετικέτες , ,

1 σχόλιο:

  1. Κουνελοϊός12 Ιανουαρίου 2014 στις 1:12 π.μ.

    Έστω γωνία ABC=θ. Τότε γωνία ACB=π/2-θ. Επίσης γωνία ABS=γωνία CBQ=[π-(γωνία ABC)]/2=(π-θ)/2=π/2-θ/2, γωνία BCQ=γωνία ACP=[π-(γωνία ACB)]/2=[π-(π/2-θ)]/2=(π-π/2+θ)/2=(π/2+θ)/2=π/4+θ/2 και γωνία CAP=γωνία BAS=π/4. Άρα γωνία BQC=π-(γωνία CBQ)-(γωνία BCQ)=π-(π/2-θ/2)-(π/4+θ/2)=π-π/2+θ/2-π/4-θ/2=π/2-π/4=π/4. Επομένως το τρίγωνο ABS είναι όμοιο με το BCQ, διότι έχει με αυτό 2 γωνίες ίσες, οπότε γωνία ASB=γωνία BCQ=π/4+θ/2. Φέρνουμε τώρα τις διχοτόμους του τριγώνου ABC οι οποίες τέμνονται στο D. Είναι γωνία DAP=γωνία DBQ=γωνία DCP=π/2. Τα τετράπλευρα ADCP, BDCQ είναι εγγράψιμα σε κύκλο, διότι (γωνία DAP)+(γωνία DCP)=(γωνία DBQ)+(γωνία DCQ)=π/2+π/2=π. Επομένως γωνία CDP=γωνία CAP=π/4 και γωνία BDC=π-(γωνία BQC)=π-π/4=3π/4, οπότε (γωνία CDP)+(γωνία BDC)=π/4+3π/4=π, άρα τα σημεία B, D, P είναι συνευθειακά και η BP είναι ύψος στο τρίγωνο PQS. Έστω ότι οι AC, BP τέμνονται στο E. Στο τρίγωνο ADE είναι γωνία ADE=γωνία ACP=γωνία ASB=π/4+θ/2 και γωνία DAE=γωνία BAS=π/4, επομένως αυτό είναι όμοιο με τα τρίγωνα ABS και BCQ. Από το D φέρνουμε τις κάθετες DF και DG στις AB και AC αντιστοίχως, οπότε DF=DG και το ορθογώνιο AFDG είναι τετράγωνο. Άρα DF=DG=AF. Το ορθογώνιο τρίγωνο ABC έχει περίμετρο 2τ=(AB)+(AC)+(BC)=4+3+5=12, επομένως τ=6 και (AF)=(DG)=τ-(BC)=6-5=1. Εφαρμόζω τώρα θεώρημα διχοτόμων στο τρίγωνο αυτό: (AE)/(CE)=(AB)/(BC), ή (AE)/[(AE)+(CE)]=(AB)/[(AB)+(BC)], ή (AE)/(AC)=(AB)/[(AB)+(BC)], ή (AE)/3=4/(4+5), ή (AE)/3=4/9, ή (AE)=3*4/9=4/3. Επίσης, (BE)^2=(AB)^2+(AE)^2=4^2+(4/3)^2=16+16/9=(144+16)/9=160/9, οπότε (BE)=4*10^(1/2)/3. Από την ομοιότητα των τριγώνων DEG και ABE παίρνουμε: (DE)/(DG)=(BE)/(AB), ή (DE)/1=[4*10^(1/2)/3]/4, ή (DE)=10^(1/2)/3. Τελικά προκύπτει ότι (BQ)/(AE)=(BC)/(DE), ή (BQ)/(4/3)=5/[10^(1/2)/3], ή (BQ)=(4/3)*[15/10^(1/2)]=20/10^(1/2)=20*10^(1/2)/10=2*10^(1/2) και (BS)/(DE)=(AB)/(AE), ή (BS)/[10^(1/2)/3]=4/(4/3), ή (BS)=3*[10^(1/2)/3]=10^(1/2), άρα (QS)=(BQ)+(BS)=2*10^(1/2)+10^(1/2)=3*10^(1/2). Το ορθογώνιο τρίγωνο BPQ είναι και ισοσκελές, διότι γωνία BQP=π/4, επομένως (BP)=(BQ)=2*10^(1/2), οπότε το εμβαδόν του τριγώνου PQS είναι: (PQS)=(1/2)*(QS)*(BP)=(1/2)*3*10^(1/2)*2*10^(1/2)=3*10=30.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)