Έστω $D$ το σημείο τομής δύο χορδών $AA',BB'$ κύκλου $\left( O \right)$ και ας είναι $\left( K \right),\left( L \right)$ (κέντρων $K,L$ αντίστοιχα) οι περίκυκλοι των τριγώνων $\vartriangle DAB,\vartriangle DA'B'$ αντίστοιχα.
Αν $C$ είναι το δεύτερο (εκτός του $D$) κοινό σημείο των κύκλων $\left( K \right),\left( L \right)$ να δειχθεί ότι:
i) Το τετράπλευρο OKDL είναι παραλληλόγραμμο και
ii) Είναι OC \bot DC.
α) Καταρχήν η KO είναι κάθετη στην AB, η LO είναι κάθετη στην A'B' και η KL είναι κάθετη στη CD. Έστω ότι οι AB, CD τέμνονται στο E, οι CD, KL στο F και οι AB, DL στο G αντίστοιχα. Είναι γωνία BEC=π-(γωνία BCE)-(γωνία CBE). Όμως το τετράπλευρο ABCD είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο κέντρου K, οπότε π-(γωνία BCE)=π-(γωνία BCD)=γωνία BAD=γωνία A'AB και γωνία CBE=γωνία ABC=γωνία A'DC. Από το εγγεγραμμένο στον κύκλο κέντρου L τετράπλευρο A'B'DC παίρνω γωνία A'DC=γωνία A'B'C και από το εγγεγραμμένο στον κύκλο κέντρου O τετράπλευρο ABA'B' προκύπτει ότι γωνία A'AB=γωνία A'B'B. Τελικά έχουμε ότι γωνία BEC=(γωνία A'B'B)-(γωνία A'B'C)=γωνία BB'C=(γωνία CLD)/2=γωνία DLF, αφού η διακεντρική ευθεία KL διχοτομεί τη γωνία CLD. Από το τρίγωνο DEG προκύπτει τώρα ότι γωνία EDG=γωνία FDL, ως κατακορυφήν. Τελικά θα έχουμε ότι γωνία DGE=π-(γωνία DEG)-(γωνία EDG)=π-(γωνία DLF)-(γωνία FDL)=γωνία DFL=π/2, δηλαδή η DL είναι κάθετη στην AB, άρα η DL είναι παράλληλη στην KO. Επομένως (γωνία KDL)+(γωνία DKO)=π. Έστω ότι οι KO, AB τέμνονται στο H, οι LO, A'B' στο I και οι AB, A'B' στο J αντίστοιχα. Στο τετράπλευρο HJIO είναι (γωνία JHO)+(γωνία JIO)=π/2+π/2=π, οπότε αυτό είναι εγγράψιμο σε κύκλο και γωνία HOI=π-(γωνία HJI). Όμως γωνία HJI=π-(γωνία BB'J)-(γωνία B'BJ)=(γωνία A'B'B)-(γωνία AA'B')=(γωνία A'AB)-(γωνία B'CD)=π-(γωνία BCD)-(γωνία B'CD)=π-(γωνία BCB'), άρα γωνία HOI=γωνία BCB'. Επίσης, γωνία B'BC=(γωνία CKD)/2=γωνία DKL και γωνία BB'C=γωνία DLK, όπως είδαμε πιο πάνω. Τα τρίγωνα BB'C και DKL έχουν λοιπόν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, οπότε θα είναι και γωνία BCB'=γωνία KDL, επομένως γωνία HOI=γωνία KOL=γωνία KDL. Τελικά προκύπτει ότι (γωνία KOL)+(γωνία DKO)=π, που σημαίνει ότι και οι DK και LO είναι παράλληλες, άρα το τετράπλευρο OKDL είναι παραλληλόγραμμο.
ΑπάντησηΔιαγραφήβ) Προεκτείνουμε την DK προς το μέρος του K και έστω ότι αυτή τέμνει τον κύκλο κέντρου K σε σημείο M. Είναι DK=KM αφού τα D και M είναι αντιδιαμετρικά σημεία. Όμως από το παραλληλόγραμμο DKOL έχουμε ότι DK=LO, οπότε θα είναι και KM=LO. Το τετράπλευρο KLOM έχει τις απέναντι πλευρές KM και LO παράλληλες και ίσες, επομένως είναι και αυτό παραλληλόγραμμο και η MO θα είναι παράλληλη στην KL, δηλαδή κάθετη στη CD. Επίσης γωνία DCM=π/2, διότι βαίνει σε ημικύκλιο, άρα και η CM θα είναι κάθετη στη CD. Τελικά προκύπτει ότι τα σημεία C, M, O είναι συνευθειακά και η OC είναι κάθετη στη DC.