Δυο διαισθήσεις κι ένα κουίζ

${\rm A}.$ Αποδείξτε, χωρίς να χρησιμοποιήσετε κανέναν μαθηματικό τύπο ή σχέση ή εξίσωση, μόνο με κάποιο λογικό και διαισθητικό επιχείρημα, πως $0,9999...=1$.

${\rm B}.$ Μια χρήσιμη πρόταση της Συνδυαστικής λέει πως υπάρχουν 

$\left(\begin{array}{c}n+1\\ k\end{array}\right)$  

διαφορετικοί τρόποι /ακολουθίες που αποτελούνται από $k$ άσσους και $n$ μηδενικά, και που δεν έχουν $2$ διαδοχικούς άσσους στη σειρά. Αποδείξτε το αυτό, μόνο διαισθητικά, χωρίς κανέναν τύπο.

$\Gamma .$ Οι προσπάθειες του Λαγκράνς (Lagrange) να υποστηρίξει καλύτερα και "πιο στέρεα" το Λογισμό εκτιμήθηκαν ιδιαίτερα από κάποιον γνωστό μεγάλο φιλόσοφο ${\rm X}$.

Κάπως καθυστερημένα βέβαια ,αφού ο Βάιερστρας (Weierstrass) είχε ήδη παγιώσει τις βάσεις της Ανάλυσης, ο ${\rm X}$ έγραψε ορισμένα (κι όχι τόσο γνωστά θαρρώ) άρθρα για τις έννοιες των παραγώγων και του διαφορικού λογισμού.

Θεωρεί πως η εξέλιξη του Λογισμού περιλαμβάνει τρεις περιόδους:

To "μυστικιστικό διαφορικό λογισμό" του Λάιμπνιτς και του Νεύτωνα, τον "λογικό" του Νταλμπέρ (D'Alembert) και τον "καθαρά αλγεβρικό" του Lagrange.

Για την πρώτη περίοδο και τους μαθηματικούς της έγραψε:

"Πίστευαν οι ίδιοι στο μυστηριακό χαρακτήρα του Λογισμού που πρόσφατα ανακάλυψαν και παρήγαγε ορθά αποτελέσματα βάσει μιας μαθηματικής διαδικασίας σίγουρα λανθασμένης"

Με τους Νταλμπέρ και Λαγκράνς ωστόσο, ο ${\rm X}$ φάνηκε πιο συγκαταβατικός :

"Αφαιρώντας από το διαφορικό λογισμό τις μυστικιστικές του ιδιότητες, ο D'Alembert έκανε ένα τεράστιο βήμα μπροστά.... ..Ο Lagrange ξεκίνησε από το θεώρημα του Taylor (Τέηλορ), που είναι το πιο εκτενές και ταυτόχρονα το πιο γενικό, καθώς και από έναν λειτουργικό και εύχρηστο τύπο του διαφορικού λογισμού".

Ποιος είναι ο ${\rm X}$;