Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $\overset{\triangle}{ABC}$ με $\hat{A}=90^o$ και $AB=AC=1$.
α)Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του $M$ (καθώς το σημείο $D$ κινείται στην πλευρά $AB$).
β)Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του εμβαδού του τριγώνου $\overset{\triangle}{CDE}$.
Ο γεωμετρικός τόπος είναι το τεταρτοκύκλιο BC χωρίς τα άκρα B και C, με κέντρο την κορυφή F του τετραγώνου ABFC. Με την ευκαιρία, θα ήθελα να ρωτήσω το εξής: Υπάρχει κάποιος γενικός κανόνας με τον οποίο λύνονται τα προβλήματα γεωμετρικού τόπου στην Ευκλείδια Γεωμετρία; Εγώ αυτό το πρόβλημα το έλυσα με αναλυτικές μεθόδους.
ΑπάντησηΔιαγραφήΛοιπόν, μόλις βρήκα μια θαυμάσια γεωμετρική λύση για το 1ο ερώτημα. Φέρνουμε την κάθετο EF στην AB (το F επί της AB), η οποία τέμνει την προέκταση της CD έστω σε σημείο G. Γωνία ADC=γωνία FDG, ως κατακορυφήν. Όμως από τα δεδομένα της άσκησης, γωνία ADC=γωνία EDF, άρα γωνία EDF=γωνία FDG. Τα τρίγωνα EDF και FDG είναι ίσα, γιατί είναι ορθογώνια (γωνία DFE=γωνία DFG=π/2), έχουν την πλευρά DF κοινή και οι γωνίες EDF και FDG είναι ίσες. Επομένως DE=DG, οπότε και τα τρίγωνα BDE και BDG θα είναι ίσα, αφού έχουν και την πλευρά BD κοινή. Άρα γωνία DBG=γωνία DBE=π/4, οπότε γωνία EBG=π/4+π/4=π/2. Επίσης, γωνία BGE=π/4. Στο τετράπλευρο BEMG είναι (γωνία EBG)+(γωνία EMG)=π/2+π/2=π, οπότε αυτό είναι εγγράψιμο σε κύκλο και γωνία BME=γωνία BGE=π/4. Τελικά προκύπτει ότι γωνία BMC=(γωνία BME)+(γωνία CME)=π/4+π/2=3π/4. Δηλαδή, το τμήμα BC φαίνεται από το μεταβλητό σημείο M υπό σταθερή γωνία 3π/4, οπότε ανήκει σε τεταρτοκύκλιο BC χωρίς τα άκρα B και C, με κέντρο την κορυφή H του τετραγώνου ABHC.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑντιστρόφως, έστω σημείο M του τεταρτοκυκλίου BC. Φέρνουμε την CM που τέμνει την AB στο D και την DE (το E επί της BC), έτσι ώστε γωνία ADC=γωνία BDE. Θα αποδείξουμε ότι η EM είναι κάθετη στη CD. Όπως και προηγουμένως, φέρνουμε την κάθετο EF στην AB (το F επί της AB), η οποία τέμνει την προέκταση της CD σε σημείο G. Είναι γωνία BMC=3π/4, οπότε γωνία BMG=π-3π/4=π/4. Από την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων BEF και BFG προκύπτει ότι γωνία BGF=γωνία BEF=π/4. Στο τετράπλευρο BEMG είναι γωνία BMG=γωνία BEG=π/4, άρα αυτό είναι εγγράψιμο σε κύκλο, επομένως γωνία BME=γωνία BGE=π/4. Τελικά προκύπτει ότι γωνία EMG=(γωνία BME)+(γωνία BMG)=π/4+π/4=π/2, που σημαίνει ότι η EM είναι κάθετη στη CD. Είπατε τίποτα;