Το παράδοξο των Banach-Tarski

Το θεώρημα αυτό ανακαλύφθηκε το 1924 από τους Stefan Banach και Alfred Tarsksi, οι οποίοι πήραν κάποιες ιδέες από τις κατασκευές ενός άλλου μαθηματικού, του Guiseppe Vitali.

Τι λέει όμως αυτό το θεώρημα και γιατί είναι παράδοξο; Χονδρικά μας λέει ότι αν έχουμε μια συνηθισμένη μπάλα στον χώρο, μπορούμε να την κόψουμε σε κατάλληλα κομμάτια και μετά μόνο με στροφές των κομματιών και μεταφορές τους σε άλλα σημεία του χώρου, να φτιάξουμε μια μπάλα με διπλάσιο όγκο.

Με άλλα λόγια, αν κάτι τέτοιο γινόταν στην πραγματική ζωή, θα μπορούσαμε να κόψουμε ένα πορτοκάλι σε κομμάτια και να ξαναενώσουμε τα κομμάτια πολλές φορές για να πάρουμε ένα τεράστιο πορτοκάλι, σαν αυτό που βγάζουν κάποιες χώρες με τα γενετικά τροποιημένα τρόφιμα. Γνωρίζουμε όμως ότι αυτό δεν μπορεί να γίνει στην ζωή, οπότε γιατί προκύπτει τέτοιο αποτέλεσμα στα μαθηματικά;

Θα κάνουμε λοιπόν μια παρουσίαση του αποτελέσματος σαν φανταστικό διάλογο μεταξύ ενός φοιτητή S και ενός μαθηματικού Μ.

S : Δεν μπορώ να το φανταστώ κατευθείαν στις τρεις διαστάσεις!

M : Ας δούμε αρχικά τι μπορούμε να κάνουμε στην μια διάσταση, όπου τα πράγματα είναι λίγο πιο εύκολα. Έστω ότι έχουμε τους κλασσικούς φυσικούς αριθμούς : 1, 2, 3, 4, …

Τώρα ξεχωρίζουμε τους άρτιους και τους περιττούς αριθμούς. Συνεπώς, έχουμε :

2, 4, 6, 8, . . .

1, 3, 5, 7, . . .

Τα δύο νέα μας σύνολα πρέπει να έχουν το ίδιο «μέγεθος» υπό την έννοια ότι μπορούμε να αντιστοιχίσουμε σε κάθε αριθμό του ενός συνόλου ένα αριθμό του άλλου με μοναδικό τρόπο. Δηλαδή,

Οι μαθηματικοί λένε αυτού του είδους την αντιστοιχία 1-1 και εύκολα μπορούμε να δούμε ότι τέτοιου είδους αντιστοιχία υπάρχει ανάμεσα και στα δυο μας σύνολα και στο αρχικό. Μπορούμε να φτιάξουμε από τους άρτιους τους φυσικούς; Βεβαίως, αρκεί να αντιστοιχίσουμε σε κάθε άρτιο τον μισό του και θα έχουμε το σύνολο που θέλουμε! Παρόμοια μπορούμε να δουλέψουμε και στους περιττούς. Όπως και να το κάνουμε, τα μαθηματικά είναι σωστά και επιτρέπουν να πάρουμε άπειρα αντικείμενα από ένα σύνολο με άπειρα αντικείμενα και στο τέλος και το αρχικό αλλά και το καινούργιο να έχουν κατά μια έννοια το ίδιο πλήθος στοιχείων.

S : Τι γίνεται όμως στον χώρο και συμβαίνει αυτό;

M : Ένας λόγος είναι ο τρόπος που επιλέγουμε τα κομμάτια. Όταν κόβουμε το πορτοκάλι σε κομμάτια, κάθε κομμάτι έχει συγκεκριμμένη μάζα και πυκνότητα, συνεπώς το άθροισμα των κομματιών δεν μπορεί να είναι διαφορετικό από το αρχικό πορτοκάλι. Αν πάρουμε ένα ιδεατό κομμάτι μιας μπάλας στο χώρο όμως, αυτή η μπάλα αποτελείται από άπειρα μη-αριθμήσιμα σημεία, φανταστείτε ότι εκεί που στο πορτοκάλι αντιστοιχεί μια πεπερασμένη πυκνότητα ανά σημείο, στην ιδεατή μας μπάλα έχουμε άπειρη. Έχουμε λοιπόν πολύ περισσότερα σημεία για να παίξουμε.

S : Ναι, ΟΚ αλλά και πάλι αν έχουμε μια μπάλα με όγκο 1, τα κομμάτια της θα έχουν σίγουρα μικρότερο όγκο όπως και αν κόψουμε. Επιπλέον είπες ότι επιτρέπονται μόνο στροφές και μεταφορές, συνεπώς ακόμα και αν έχουμε άπειρη πυκνότητα σημείων, δεν μπορούμε να «απλώσουμε» αυτά τα σημεία όπως θα κάναμε μια μπάλα από βούτυρο πάνω σε μια φέτα τόστ. Όπως την κόψουμε, τόσο όγκο θα καταλαμβάνει.

M : Πολύ σωστά είναι όλα αυτά, όμως η ερώτηση μόλις έξυσε ένα από τα πιο εξεζητημένα σημεία των μαθηματικών, αυτό της απόδοσης όγκου σε ένα κομμάτι του Ευκλείδιου χώρου. Πιο τυπικά, μια ερώτηση μέσα από την οποία ξεπήδησε ολόκληρος κλάδος ήταν,

Υπάρχει κάποιος τρόπος να οριστεί για κάθε σύνολο όγκος τέτοιος ώστε να επαληθεύει κάποιες διαισθητικές ιδιότητες που θα θέλαμε;

Τι ιδιότητες θα θέλαμε να έχει ένας τέτοιος ορισμός;

S : Φαντάζομαι ότι θα πρέπει να ο όγκος του Α να μην εξαρτάται από το που βρίσκεται το Α στον χώρο. Επιπλέον θα πρέπει αν πάρουμε άλλο ένα σύνολο Β ξένο ως προς το Α και το ενώσουμε με το Α, ο όγκος αυτού του νέου συνόλου θα πρέπει να έχει τον ίδιο όγκο με το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Χμμμ… και αν δεν είναι ξένα, ίσως θα θα ήταν λογικό το νέο σύνολο που θα προκύψει από την ένωση να έχει όγκο μικρότερο ή ίσο από το άθροισμα των άλλων δύο. ΑΑΑΑ…. και θα πρέπει αν έχουμε ένα διάστημα/τετράγωνο/κύβο ή τις γενικεύσεις τους σε χώρους με περισσότερες διαστάσεις, με «πλευρές» μήκους 1, τότε ο όγκος θα πρέπει να βγαίνει πάντα 1.

M : Ακριβώς! Αυτές είναι κάποιες ιδιότητες που θα ήθελε ένας μαθηματικός να έχει ένας ορισμός του όγκου στον . Ένας άλλος μεγάλος μαθηματικός, ο Henri Lebesgue λοιπόν όρισε με έναν αρκετά τεχνικό αλλά και όμορφο τρόπο μια συνάρτηση που μας πηγαίνει από σύνολα του σε μη-αρνητικούς αριθμούς, έχει όλες αυτές τις ωραίες ιδιότητες και χάρις σε αυτή, επέκτεινε το πως μπορούμε να υπολογίσουμε όγκους συνόλων.

S : Όλα καλά ως εδώ. Που είναι το πρόβλημα;

Μ : Το πρόβλημα είναι ότι ο Vitali με μια κατασκευή του που βασιζόταν στο αξίωμα της επιλογής . . .

S : Δεν έχω πάρει θεωρία συνόλων . . . :embarrassed:

Μ : . . . το οπόιο λέει ότι αν έχεις κάποια σύνολα, ακόμα και άπειρου πλήθους, τότε μπορείς να επιλέξεις ένα στοιχείο από κάθε σύνολο και να φτιάξεις ένα νέο σύνολο. Ποίος θα περίμενε όμως ότι χάρις αυτό το απλο αξίωμα, ο Vitali θα μπορούσε να αποδείξει την ύπαρξη συνόλων στον (άρα και στον ) που δεν γίνεται να έχουν όγκο με βάση τον ορισμό του Lebesgue.

S : Ουπς… και μετά τι έγινε; Άλλαξαν τρόπο να μετράνε;

Μ : Όχι! Απλά δέχτηκαν ότι το μέτρο του Lebesgue είναι το καλύτερο που θα μπορούσαν να βρούν αν θέλουν να έχουν όλες τις ωραίες ιδιότητες που είπαμε και ότι θα υπάρχουν πάντα σύνολα που δεν θα μπορεί να τους αποδοθεί όγκος με βάση αυτό το μέτρο. Χώρισαν λοιπόν τα σύνολα του χώρου σε μετρήσιμα (αυτά που έχουν όγκο) και στα μη – μετρήσιμα. Στην συνέχεια λοιπόν ο Banach και ο Τarski χρησιμοποιήσαν πάλι το αξίωμα της επιλογής για να κόψουν την μπάλα σε άπειρα μη-αριθμήσιμα κομμάτια, από τα οποία κάποια είναι σίγουρα μη-μετρήσιμα.

S : Τα οποία επειδή είναι μη-μετρήσιμα, δεν επαλήθευουν της ιδιότητες του όγκου, σωστά;

Μ : Σωστά! Είναι απλά συνέπεια του τρόπου που μετράμε τον όγκο. Δεν γίνεται να έχουμε έναν τρόπο να αποδίδουμε όγκο σε ότι σύνολο θέλουμε, ο όγκος να έχει όλες αυτές τις ωραίες ιδιότητες και ταυτόχρονα να απαιτούμε να αποδίδεται όγκος σε όλα τα σύνολα του χώρου. Αυτό απέδειξαν αυτοί οι μαθηματικοί με τα παράδοξα τους.

S : Και μπορούμε να δούμε πως θα κόβαμε αυτά τα κομμάτια με κάποιο σχήμα;

Μ : Ευσεβείς πόθοι! Επειδή στην απόδειξη χρησιμοποιείται το αξίωμα της επιλογής, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει κάπου εκεί έξω, κάποιος πολύπλοκος τρόπος για να τα κόψεις που επαληθεύει το θεώρημα. Πρόκειται δηλαδή για απόδειξη ύπαρξης και όχι κατασκευής και όπως συνηθίζεται, δεν υπάρχει κανένας τρόπος να βρεις πως θα κάνεις αυτό το κάτι που χρειάζεται.

S : Νομίζω ότι κατάλαβα!

Μ : Το ελπίζω γιατί θα εξεταστείς σε αυτό την Δευτέρα. Άντε και καλό Σαββατοκύριακο!

Πηγή: mathcom.gr