Εισαγωγικές εξετάσεις 1967: Θέματα Γεωμετρίας - Σχολή Ικάρων

1. Να αποδειχτεί οτι οι αποστάσεις τυχαίου σημείου ${\displaystyle M}$ μιας διαμέσου τριγώνου από τις πλευρές τις διερχόμενες από την κορυφή αυτή είναι αντιστρόφως ανάλογες προς τις πλευρές αυτές. 

2. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων ${\displaystyle K}$ των κύκλων οι οποίοι τέμνουν από τις πλευρές δοθείσης γωνίας ${\displaystyle \widehat{xOy}}$ ίσες χορδές. 

3. Να δειχτεί οτι η απόσταση του κέντρου βάρους τριγώνου ${\displaystyle AB\mathrm{\Gamma }}$ από ευθεία $({\displaystyle \epsilon )}$ η οποία βρίσκεται εξωτερικά του τριγώνου είναι ίση με το ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ του αθροίσματος των αποστάσεων των τριων κορυφών του τριγώνου από την ευθεία αυτή. 

4. Να κατασκευαστεί κύκλος διερχόμενος από σταθερό σημείο ${\displaystyle A}$, εφαπτόμενος εξωτερικά σε δοθέντα κύκλο ${\displaystyle K}$ και εφαπτόμενο σε δοθείσα ευθεία ${\displaystyle xy}$ 

5. Να αποδειχθεί οτι ο όγκος του κώνου που παράγει ένα ορθογώνιο τρίγωνο ${\displaystyle OKA}$, $({\displaystyle \hat{K}={90}^o)}$ όταν περιστραφεί γύρω από μια από τις κάθετες πλευρές του, π.χ. την ${\displaystyle OK}$ είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού του ορθογωνίου αυτού τριγώνου επί το μήκος του κύκλου, τον οποίο σχηματίζει κατά την περιστροφή το σημείο τομής των διαμέσων του τριγώνου. Πηγή: mathematica.gr