Δίνονται μερικά τετράγωνα, των οποίων το άθροισμα των εμβαδών είναι ίσο με 1. Να αποδειχθεί ότι τα τετράγωνα αυτά μπορούν να τοποθετηθούν χωρίς επικάλυψη στο εσωτερικό τετραγώνου που έχει εμβαδόν ίσο με 2.
6η Πανενωσιακή Μαθηματική Ολυμπιάδα 1971 (Τσελιάμπινσκ)
Εμβαδό τετραγώνου=2, άρα πλευρέςτετραγώνου=sprt2
ΑπάντησηΔιαγραφήΤοποθετώ τα τετραγωνάκια στο τετράγωνο, από αριστερά προς τα δεξιά και από κάτω προς τα πάνω σε φθίνουσα σειρά, από το μεγαλύτερο, έστω διαστάσεων h1, προς το μικρότερο και έστω h2 το τετραγωνάκι που δεν χωράει στην 1η σειρά. Αρχίζω με αυτό την τοποθέτηση στην 2η σειρά και έστω h3 to τετραγωνάκι που δεν χωράει στην 2 η σειρά και αρχίζω με αυτό την τοποθέτηση στην 3η σειρά, κ.ο.κ μέχρι την ν-οστή σειρά με την τοποθέτηση στην αρχή της σειράς του hν, αυτό που δεν χώρεσε στην (ν-1) σειρά και των υπολοίπων, μικρότερων ή ίσων του hν όπου και εξαντλούνται όλα τα τετραγωνάκια.
Συνολικό ύψος τετραγωνιδίων h=h1+h2+h3+...+hν
Αρκεί να αποδείζουμε ότι h<=sprt2
Το άθροισμα των εμβαδών h1^2+h2^2+h3^2+...+hν^2<=1, κατά μείζονα λόγο h1^2+(sqrt2-h1)*(h2+h3+..+hν) <=1 =>
h1^2+(sqrt2-h1)*(h-h1)<=1 =>
(h-h1)<=(1-h1^2)/(sqrt2-h1) =>
h <= (1-h1^2)/(sqrt2-h1)+h1, πολλαπλασιάζω τους όρους του κλάσματος με sqrt2, το h1 το πολλαπλασιάζω και το διαιρώ ταυτόχρονα με (2-h1*sqrt2), προσθέτω και αφαιρώ το 3*sqrt2 και πολλαπλασιάζω και διαιρώ το -3sqrt2 με (2-h1*sqrt2) =>
h<=(sqrt2-sqrt2*h1^2)/(2-h1*sqrt2) +h1*(2-h1*sqrt2)/(2-h1*sqrt2)+
+3*sqrt2-3sqrt2*(2 -xsqrt2)/(2-xsqrt2)=
[3*sqrt2+{sqrt2 -sqrt2*h1^2 +h1*(2 -h1*sqrt2)-
-3sqrt2*(2-h1sqrt2)}/(2-h1sqrt2)}]=
[3*sqrt2+{sqrt2(1 -h1^2) +sqrt2 *h1*(sqrt2 -h1)-
-3sqrt2*(2 -h1sqrt2)}/(2-h1sqrt2)}]=
[3*sqrt2+sqrt2{1-h1^2+h1*(sqrt2-h1)-3*(2-h1sqrt2)}/(2-h1*sqrt2)}]=
[3*sqrt2+sqrt2{1-h1^2+h1*sqrt2-h1^2-6+3h1*sqrt2}/(2h1*sqrt2)}]=
[3*sqrt2-sqrt2{2h1^2 -4h1*sqrt2 +5}/(2 -h1sqrt2)}]=
[3*sqrt2-sqrt2{(2h1^2 -4h1*sqrt2 +4)+1}/(2 -h1sqrt2)}]=
[3*sqrt2-sqrt2{(2-h1*sqrt2)^2+1}/(2-h1sqrt2)]=
3*sqrt2-sqrt2{(2-h1*sqrt2) +1/(2-h1sqrt2)}
Επειδή (2-h1*sqrt2) +1/(2-h1sqrt2)>=2, άρα
h<=3*sqrt2-sqrt2{(2-h1*sqrt2) +1/(2-h1sqrt2)}<=(3*sqrt2-2sqrt2= sqrt2), άρα h < = sqrt2 ο.ε.δ