"Πού τελειώνει το παιχνίδι και πού αρχίζουν τα σοβαρά μαθηματικά; Για πολλούς, τα μαθηματικά,νοούμενα ως θανάσιμα βαρετά, δεν έχουν καμία σχέση με το παιχνίδι. Αντιθέτως, στα μάτια των περισσότερων μαθηματικών δεν παύουν ποτέ να αποτελούν ένα παιχνίδι,όντας ταυτόχρονα και πολλά άλλα πράγματα."
Miguel de Guzman
1.Ο Σωκράτης και η Ελπίδα παίρνουν ένα τίμιο συνηθισμένο 6πλευρο ζάρι. Η Ελπίδα ρίχνει πρώτη το ζάρι, και μετά ο Σωκράτης. Ποια είναι η πιθανότητα ο αριθμός που θα φέρει η Ελπίδα να είναι μεγαλύτερος από εκείνον του Σωκράτη;
2. O Γιώργος επιστρέφει σπίτι μετά από γλέντι μετά οίνου. Μπροστά στην εξώπορτα, βγάζει από την τσέπη του μια αρμαθιά με 10 κλειδιά. Ένα από αυτά είναι το κλειδί της εξώπορτας. Λόγω σκότους και..ευεξίας, διαλέγει ένα κλειδί στα τυφλά και το δοκιμάζει στην κλειδαριά. Αν δεν ταιριάζει ,δεν έχει τη νηφαλιότητα να το αφήσει στην άκρη. Απλώς διαλέγει και πάλι κάποιο από τα 10 τυχαία. Σε ποια προσπάθεια έχει τη μεγαλύτερη πιθανότητα να βρει το σωστό κλειδί και να μπει-επιτέλους- στο σπίτι του;
3. Ένας μεγάλος κυκλικός δίσκος γυρίζει γύρω από έναν κεντρικό άξονα, όπως ας πούμε μια ρουλέτα. Γυρίζουμε το δίσκο δυνατά ,όπως τη ρουλέτα. Ποια είναι η πιθανότητα ένα τυχαίο σημείο της περιφέρειας του δίσκου ,το οποίο ας πούμε έχουμε μαρκάρει με ένα σημαδάκι με μολύβι, να σταματήσει σε γωνία ίση με π από την αρχή; (το σημείο δηλαδή Β στον ιδεατό άξονα "Βορά"-"Νότου" ή το "12" στον "12"-"6", αν το θεωρήσουμε ως "ρολόι")
1. Υπάρχει μια πιθανότητα τα ζάρια να φέρουν τον ίδιο αριθμό και αυτή είναι 1/6. Η πιθανότητα να φέρει κάποιος από τους δύο αριθμό μεγαλύτερο από τον άλλο είναι επομένως 5/6 και επειδή η πιθανότητα αυτή είναι μοιρασμένη συμμετρικά, η πιθανότητα της Ελπίδας είναι 5/12.
ΑπάντησηΔιαγραφή2. Η μεγαλύτερη πιθανότητα να βρεις Γιώργο το σωστό κλειδί είναι στην προσπάθεια που ισούται με τον αναμενόμενο (μέσο) αριθμό δοκιμών για να έχεις επιτυχία και αυτή νομίζω πως είναι το αντίστροφο της πιθανότητας σε μια προσπάθεια να βρεις το σωστό κλειδί, δηλαδή 1/(1/10) = 10. Στη 10η προσπάθεια λοιπόν.
3. Αν εννοείς να σταματήσει ακριβώς στο Βορρά και όχι σε κάποιο εύρος δεξιά-αριστερά, μαθηματικά τουλάχιστον, η πιθανότητα είναι 0.
2. Νομίζω ότι την μεγαλύτερη πιθανότητα την έχει στην 1η προσπάθεια
ΑπάντησηΔιαγραφήΠιθανότητα επιτυχίας, =Πεπ.=1/10, πιθανότητας αποτυχίας =Παπ=9/10
και έστω Π1η, Π2η, Π3η,..., Π10η,..., ή πιθανότητα να βρει το κλειδί ακριβώς στην 1η, ή στην 2η έχοντας αποτύχει στην 1η, ή στην 3η έχοντας αποτύχει στην 1η και 2η,.. ή στην 10η προσπάθεια έχοντας αποτύχει και στην 1η και 2η,...,και 9η προσπάθειες ,...,
Π1η=Πεπ=1/10
Π2η=Παπ*Πεπ=9/10 *1/10 =9/100=0.09
Π3η=Παπ^2(να αποτύχει 1η και 2η)*Πεπ=(9^2/10^2)*(1/10)=81/1000=0.081
................
Π10η=Παπ^9(αποτυχία στην 1η έως και στην 9η)*Πεπ =(9^9/10^9)*(1/10)=0.038742...
....................
Συνεπώς Π1η>Π2η>Π3η>,....,Π10η>.....
2 Προσέγγιση 2η
Εκτός από την παραπάνω “πρακτική” προσέγγιση, μπορούμε να διακρίνουμε ότι έχουμε γεωμετρική κατανομή πιθανότητας, δηλαδή τυχαίο πείραμα μα 2 πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία-αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας p, στην περίπτωση μας p=1/10 και ζητείται η πιθανότητας να έχουμε επιτυχία την
n-οστή φορά.
H πιθανότητα αυτή δίνεται από τον τύπο:
P(X=n)=p*(1-p)^(n-1)
Έτσι για:
n=1, P(X=1)=p*(1-p)^(1-1)=p=1/10
n=2, P(X=2)=p*(1-p)^(2-1)=1/10 *9/10
n=3, P(X=3)=p*(1-p)^(3-1)=1/10 *(9/10)^2=81/1000
…............................................
n=10,P(X=10)=p*(1-p)^(10-1)=(1/10)*(9/10)^9 =0.038742
…..............................
n=100, P(X=100)=p*(1-p)^(100-1=(1/10)*(9/10)^99= =2.9527*10^(-6)
Θα συμφωνήσω, εφόσον αυτό ήταν το νόημα της ερώτησης, πράγμα που κάθε άλλο παρά αποκλείω. Η πρώτη προσπάθεια δεν προϋποθέτει αποτυχία προηγούμενων και η πιθανότητά της είναι ένα καθαρό 1/10. Σε κάθε επόμενη προσπάθεια, εφόσον απαιτηθεί, η σταθερή πιθανότητα επιτυχίας 1/10 πολλαπλασιάζεται με τη διαρκώς φθίνουσα πιθανότητα της συνθήκης να έχουν αποτύχει όλες οι προηγούμενές της, οπότε η πιθανότητα να είναι η κάθε επόμενη η τυχερή είναι μικρότερη από την αντίστοιχη πιθανότητα της προηγούμενής της.
ΔιαγραφήΑυτό που υπολόγισα στο προηγούμενο σχόλιό μου είναι ο μέσος όρος δοκιμών μέχρι την επιτυχία.
Δυο λόγια ακόμα ως προς το νόημα της ερώτησης στο 2.:
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν εννοούμε ποια κατά σειρά προσπάθεια έχει περισσότερες πιθανότητες από οποιαδήποτε άλλη να είναι η τυχερή (και θα συμφωνήσω ότι η υπάρχουσα διατύπωση της ερώτησης αυτή την ερμηνεία ευνοεί), τότε η απάντηση είναι 'η πρώτη'.
Φυσικά στην περίπτωση αυτή, δεν έχει καμιά σημασία ο δεδομένος αριθμός των κλειδιών, αφού είτε 10, είτε 100 είτε οσαδήποτε κλειδιά είχε ο Γιώργος, η απάντηση θα ήταν πάντα η ίδια.
Αυτό με κάνει να θεωρώ ότι, ενδεχομένως, το νόημα που ήθελε να δώσει ο συγγραφέας του γρίφου στην ερώτηση ήταν 'πόσες προσπάθειες είναι το πιθανότερο να χρειαστούν μέχρι να ανοίξει η πόρτα?'.
Αυτή είναι μια διαφορετική ερώτηση και η απάντησή της είναι νομίζω 10, αριθμός που έχει άμεση σχέση και με το δεδομένο αριθμό των κλειδιών.
Πιθανοτικά και μαθηματικά παιχνίδια λοιπόν και όχι μόνο: τα παιχνίδια της γλώσσας είναι κι αυτά ξανά εδώ.
Ωστόσο αν και θα χρειαστεί κατά μέσο όρο 10 προσπάθειες για να μπει στο σπίτι, η πιθανότητα να συμβεί μέσα στις 7 πρώτες είναι μεγαλύτερη από την πιθανότητα να συμβεί σε πάνω από 7 προσπάθειες.
ΔιαγραφήΜε μια διαφορετική ανάγνωση του γρίφου θα μπορούσε να ζητείται κι ο μαγικός αριθμός 7, ως ο αριθμός προσπαθειών μέσα στις οποίες είναι πιθανότερο να ανοίξει η πόρτα από ότι να μην ανοίξει.
Πως βγαινει οτι η πιθανότητα να συμβεί μέσα στις 7 πρώτες είναι μεγαλύτερη από την πιθανότητα να συμβεί σε πάνω από 7 προσπάθειες?Δεν το αποκλειω,διοτι διαισθητικα μου φαινεται υπερβολικο να συμβει ας πουμε σε 100 φορες κι οχι σε λιγοτερες.Παρολο που αν το υπολογισεις ειναι πιο πιθανο να συμβει μεσα στις περισσοτερες προσπαθειες.Μεσα στις 7 πρωτες βγαινει 52.2% ενω μεσα στις 8 57%. Τελικα ο μαγικος αριθμος 7 ειναι λυση?
ΔιαγραφήΗ σωρευτική πιθανότητα να συμβεί αυξάνεται συνεχώς όσο αυξάνεται ο αριθμός των προσπαθειών, αλλά στις 7 προσπάθειες υπερβαίνει το 50%. Αυτό σημαίνει ότι πιθανότερα θα χρειαστούν μέχρι και 7 προσπάθειες παρά περισσότερες από 7.
ΔιαγραφήΠολυ σωστα.Λιγο μετα,αφου εστειλα το μηνυμα διεκρινα την διαφορα και ηθελα να διευκρινισω σημερα.Οντως.Το πιθανότερο ειναι να χρειαστούν μέχρι και 7 προσπάθειες παρά περισσότερες από 7.Στο 52.2% περιπου,θα εχουμε καταφερει να ανοιξουμε την πορτα με μεχρι και 7 προσπαθειες.Ενω λιγοτερο απο το 48% θα χρειαστει να κανουμε περισσοτερες απο 7 προσπαθειες.
ΔιαγραφήΟσον αφορα την ερώτηση 'πόσες προσπάθειες είναι το πιθανότερο να χρειαστούν μέχρι να ανοίξει η πόρτα?' η απάντησή ειναι μαλλον 10?
Η πιθανότητα να ανοίξει η πόρτα σε ακριβώς 10 προσπάθειες δεν είναι προφανώς μεγαλύτερη από την πιθανότητα να ανοίξει σε ακριβώς οποιονδήποτε αριθμό λιγότερων προσπαθειών. Αυτό έχει εξηγηθεί νομίζω επαρκώς στα σχόλια που έχουν προηγηθεί.
ΔιαγραφήΟ 10 είναι ο μέσος όρος των προσπαθειών που θα χρειαστούν για να ανοίξει η πόρτα, ή αν προτιμάς ο αναμενόμενος (με την έννοια της μαθηματικής προσδοκίας) αριθμός δοκιμών για να βρεθεί το σωστό κλειδί.
Αν και η τελευταία αυτή ανάγνωση απομακρύνεται αρκετά από το πεδίο των πιθανών νοημάτων του ερωτήματος, δεν μπορώ παρά να συμφωνήσω και με τη δική σου απάντηση, αγαπητέ swt.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑπό ότι φαίνεται για ακόμα μια φορά, δεν υπάρχουν λάθος απαντήσεις, στις ερωτήσεις μάλλον είναι το πρόβλημα :)
Μερικές σκέψεις για την γλώσσα μας και για τον γρίφο.
ΑπάντησηΔιαγραφήΌταν η ερώτηση είναι σε “Ποια” προσπάθεια, η απάντηση δεν
μπορεί παρά να είναι της μορφής: Στην “Τάδε”,
στην Χ-οστή (1η,2η,3η,...10η,...,Ν-οστή) , όπως και ο papαdim
σωστά, από γλωσσική άποψη, απάντησε στην 10η προσπάθεια,
και όπως στη συνέχεια εξήγησε, εννοούσε:“Αυτό που υπολόγισα στο προηγούμενο σχόλιό μου είναι ο μέσος όρος δοκιμών μέχρι την επιτυχία.”
Δέκα(10) προσπάθειες ο μέσος όρος των προσπαθειών για να βρε το σωστό κλειδί και συμφωνώ. Αλλά αυτό είναι απάντηση σε
ερώτηση, που δεν έγινε κατά την άποψη μου, της μορφής:
Ποιος ο μέσος όρος των προσπαθειών που χρειάζονται για να βρει το σωστό κλειδί και να μπει στο σπίτι του?
Όσον αφορά το θέμα σε “Πόσες” προσπάθειες έχουμε την
μεγαλύτερη πιθανότητα να βρεθεί το κλειδί (δηλαδή να έχουμε μία επιτυχία), δεν έχει σχέση με το σε “Ποια” προσπάθεια.
Είναι επέκταση του γρίφου,μία διαφορετική γραφή μάλλον παρά
ανάγνωση του γρίφου (και έτσι το αντιμετωπίζει ο swt, σαν
επιπλέον ερώτηση).
Νομίζω όμως, και με αρκετή επιφύλαξη, ότι την μεγαλύτερη
πιθανότητα να βρεθεί το κλειδί την έχουμε με 10 προσπάθειες
(συμπτωματικά και με 9, λόγω πράξεων), παρά με 7.
Διωνυμική κατανομή, P(X=x)=C(ν,x)*p^x *q^(ν-χ),
χ=αριθμός επιτυχιών, ν=αριθμός προσπαθειών-δοκιμών,
p=πιθανότητα επιτυχίας και q=πιθανότητα αποτυχίας.
.Για ν=10, χ=1, p=0.10, q=0.90 έχουμε
P(X=1)=C(10,1)*0.1^1 *0.9^(10-1)=0.387420489
.Για ν=9, χ=1, p=0.10, q=0.90 έχουμε
P(X=1)=C(9,1)*0.1^1 *0.9^(9-1)=0.387420489
.Για ν=7, χ=1, p=0.10, q=0.90 έχουμε
P(X=1)=C(7,1)*0.1^1 *0.9^(7-1)=0.3720087
Τα παραπάνω τα γράφω όχι έχοντας την μαθηματική βεβαιότητα
αυτών που γράφω (και πως να την έχω αφού ασχολούμαι ξανά
μετά από 40 και κάτι χρόνια με τα μαθηματικά), αλλά επειδή
ο Γ. Ριζόπουλος που έχει το “κλειδί” του γρίφου αλλά και το
μαθηματικό υπόβαθρο να ξεδιαλύνει σφαιρικά το θέμα!
Πράγματι, όταν έχουμε 10 κλειδιά, η πιθανότητα να βρούμε ακριβώς μία φορά το κλειδί σε ν προσπάθειες είναι μέγιστη όταν ν = 9 ή ν = 10. Να σημειώσουμε όμως ότι στο πείραμα αυτό η επιτυχία μπορεί να συμβεί σε οποιαδήποτε από τις ν προσπάθειες.
ΔιαγραφήΑγαπητέ Ευθύμιε, για όσα από αυτά που γράφεις με αφορούν, θα προσυπογράψω ανεπιφύλακτα. Η αρχική μου απάντηση στο επίμαχο ερώτημα ήταν αποτέλεσμα μιας διαφορετικής πρόσληψής του, σε σχέση με το νόημα που προκύπτει από την κυριολεξία της υπάρχουσας διατύπωσης. Και φυσικά η σωστή απάντηση στο ερώτημα είναι αυτή που έδωσες αναλυτικότατα εσύ.
ΑπάντησηΔιαγραφήΤα υπόλοιπα σχόλιά μου, όπως σωστά επισημαίνεις, αφορούσαν σε ένα διαφορετικό ερώτημα, που δεν τίθεται στο γρίφο, αλλά το έθεσα ο ίδιος, αφενός για να αιτιολογήσω την αρχική απάντησή μου, αφετέρου γιατί προσωπικά το θεώρησα πιο ενδιαφέρον από το υπάρχον ερώτημα (αυτό βέβαια είναι μια υποκειμενική αξιολόγηση και δεν μπορώ να την επιβάλω σε κανέναν).
Σε ό,τι αφορά την αρχική παρέμβαση του swt, αυτό που νομίζω πως εννοούσε είναι ότι 7 είναι ο ελάχιστος αριθμός των προσπαθειών, μέσα στις οποίες είναι πιο πιθανό να ανοίξει η πόρτα παρά να μην ανοίξει (δηλαδή ο αριθμός δοκιμών που η αθροιστική τους πιθανότητα να είναι καθεμιά τους η τυχερή υπερβαίνει το 0,5). Και αυτό ήταν ένα δεύτερο υποθετικό ερώτημα, για το οποίο νομίζω ότι όλοι συμφωνούμε με τη δική του απάντηση.
Θα συμφωνήσω, Papadim, με την λύση swt στην διαφορετική
ΑπάντησηΔιαγραφήγραφή (ή ανάγνωση) του γρίφου όπως ο ίδιος το έθεσε με την
προϋπόθεση ότι το “πείραμα” γίνεται όχι με μία επιτυχία αλλά
με τουλάχιστον μία επιτυχία.
Mε 6 προσπάθειες έχουμε:
P(τουλάχιστον μία επιτυχία)=1-P(X=0)=1-0,53144=0,46856<0,50
Mε 7 προσπάθειες έχουμε:
P(τουλάχιστον μία επιτυχία)=1-P(X=0)=1-0,4783=0,5217>0,50
Πράγματι 7 ο “μαγικός” αριθμός.
Υ.Γ Και να ζητήσουμε την ανοχή του Γ. Ριζόπουλου για τη
αυτοδιαχείριση που κάναμε του γρίφου!
Όταν ζητάμε τη πιθανότητα να βρούμε το κλειδί μέσα σε 7 προσπάθειες, θεωρούμε ότι αν βρούμε το κλειδί πριν την έβδομη προσπάθεια σταματάμε να προσπαθούμε. Επομένως η πιθανότητα είναι ισοδύναμη με την πιθανότητα να έχουμε τουλάχιστον 1 εύρεση του κλειδιού σε 7 προσπάθειες, καθώς αν συνεχίζαμε να προσπαθούμε και μετά την εύρεση του κλειδιού μπορεί είτε να το ξαναβρίσκαμε είτε όχι.
ΔιαγραφήΔιόρθωση: [...]Επομένως η πιθανότητα είναι ίση με την πιθανότητα [...]
ΔιαγραφήΙσοδύναμα είναι τα προβλήματα.
Έχεις δίκαιο, ισοδύναμα είναι.
ΔιαγραφήΕκτιμώ ότι ο φίλος μας ο Γιώργος δεν έχει κανένα πρόβλημα με μια τέτοια αυτοδιαχείριση, ιδίως αν είναι γόνιμη και πολιτισμένη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΥποψιάζομαι όμως πως άλλο είναι το πρόβλημά του: έχει φτάσει στη 1000..-οστή προσπάθεια και, διαψεύδοντας όλους τους υπολογισμούς μας, η πόρτα δεν έχει ανοίξει ακόμα -:)
Συνδυάζοντας το χιούμορ του papadim “έχει φτάσει στη ..1000-οστή προσπάθεια “... και το τμήμα της ερώτησης “...και να μπει-
ΑπάντησηΔιαγραφή-επιτέλους- στο σπίτι του;” μπορούμε να εκλάβουμε το σε “ποια
προσπάθεια” ως “μέχρι ποια προσπάθεια” τότε η απάντηση,
αυτονόητο, είναι ότι όσο περισσότερες προσπάθειες κάνουμε, τόσο αυξάνει η πιθανότητα να βρούμε το κλειδί.
P(X=n(=1,2,3,...))=0.1*(1+0,9+0,9^2+0,9^3+.....+0,9^(n-1)=1
Υποθέτω ότι δεν χρειάζεται να φτάσουμε στις...άπειρες
προσπάθειες για να γίνει η πιθανότητα βεβαιότητα (P=1), και
ότι κάποιος μαθηματικός τύπος θα μας δίνει το n όπου στην πράξη έχουμε P(Χ=n(=1,2,3,...,k(?))=1
Δυστυχώς Ευθύμιε, αυτό το μαγικό n που εξασφαλίζει με απόλυτη βεβαιότητα ότι ο φίλος μας θα μπει κάποτε σ΄αυτή τη ζωή (ή και στη μέλλουσα ακόμα) στο σπίτι δεν υπάρχει. Η πιθανοτική σειρά πλησιάζει 'εις το διηνεκές' το 1, αλλά πάντα κάτι τις μικρό τη χωρίζει από αυτό.
ΑπάντησηΔιαγραφή