Από το βιβλίο "Μαθηματικές Ολυμπιάδες - 101 προβλήματα μόνο για πολύ δυνατούς λύτες", του Ανδρέα Γ. Αθανασιάδη.
Τρίτη 17 Σεπτεμβρίου 2013
Δύο αδέλφια
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
190 Αποδείξεις του Πυθαγορείου θεωρήματος
Επισκεφτείτε το Eisatopon στο Twitter X
Επισκεφτείτε το Eisatopon στο Pinterest
Desmos Activities
Ultimate AI Math Solver
Photomath
The Ultimate Math Help App
Wikipedia - Mathematics
Google Gemini
OpenAI - Chat GPT
DeepL Translator
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία
European Mathematical Society
Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία
Canadian Mathematical Society (CMS)
The William Lowell Putnam Mathematics Competition (Archive 1985 - 2021)
Art of Problem Solving ONLINE
Leonardo Fibonacci
Kurt Friedrich Gödel
Ευκλείδης
Αρχιμήδης
Leonard Euler
Georg Cantor
Pierre-Simon Laplace
René Descartes
Joseph-Louis Lagrange
Πιερ ντε Φερμά
Gottfried Wilhelm Leibniz
Αφού η αξία κάθε προβάτου σε ρούβλια ήταν ίδια με τον αριθμό των προβάτων, τότε το ποσό που μοιράστηκε στα 2 αδέρφια ήταν τέλειο τετράγωνο κάποιου αριθμού.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕφόσον, βάσει του τρόπου ΄10 σου και 10 μου’ που έγινε η μοιρασιά, ξέρουμε ότι για τον δεύτερο έμειναν λιγότερα από 10 ρούβλια στον τελευταίο γύρο, αυτό επίσης σημαίνει ότι το ποσό που μοιράστηκαν τα αδέλφια περιείχε περιττό αριθμό 10άρικων συν κάτι λιγότερο από 10.
Τα παραπάνω εκφράζονται από την εξής σχέση (χ^2 το ποσό που μοιράστηκε, κ ακέραιος και 0<=λ<10 το ποσό που πήρε ο δεύτερος στον τελευταίο γύρο):
χ^2=(2κ+1)*10+λ χ^2=20κ+10+λ χ^2-(10+λ)=20κ
Από τη σχέση αυτή συνεπάγεται ότι ο χ^2-(10+λ) διαιρείται με το 20 και επομένως τα υπόλοιπα διαίρεσης του χ^2 και του 10+λ με το 20 είναι ίσα.
Τα δυνατά υπόλοιπα διαίρεσης ενός τέλειου τετράγωνου με το 20 είναι 0, 1, 4, 5, 9 και 16.
Το υπόλοιπο διαίρεσης με το 20 του αριθμού 10+λ, που είναι δεδομένα διψήφιος μικρότερος του 20, είναι ο ίδιος ο αριθμός 10+λ.
Η σχέση 10+λ = χ^2 mod(20) ικανοποιείται μόνο για χ^2=16 mod(20), επομένως:
10+λ=16 λ=6.
Επομένως η αξία του σταυρού που ισοφαρίζει το τελευταίο 10άρικο είναι 10-6 = 4 ρούβλια.
Στη προ σταυρού μοιρασιά ο πρώτος πήρε 4 ρούβλια περισσότερα. Για να έχουν τα ίδια, θα έπρεπε να επιστρέψει ο πρώτος στο δεύτερο 2. Άρα αυτή είναι η αξία του σταυρού.
ΔιαγραφήΕυθύμιε, έχεις δίκιο.
Να'σαι καλά papadim! και σε συγχαίρω και για την ευθύτητα και για την αμεσότητα της απάντησης σου και φυσικά για την λύση του προβλήματος, άσχετα από την εκ παραδρομής και κεκτημένης ταχύτητας μικρο-αστοχίας στο τέλος.
ΔιαγραφήΕυθύμιε, να 'σαι καλά κι εσύ, ευχαριστώ και ομοίως συγχαίρω εσένα για την πλήρη και ορθή λύση σου.
ΔιαγραφήΧαίρομαι επίσης που η ωραία συζήτηση κατέληξε αυτή τη φορά σε ομοφωνία.
Έστω Χ ο αριθμός των προβάτων, άρα τα πούλησαν προς Χ ρούβλια/πρόβατο, εισέπραξαν χ^2 ρούβλια.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕπειδή ο μεγαλύτερος πήρε πρώτος και τελευταίος 10 ρούβλια, άρα πήραν μαζί (2ν+1)*10=20ν+10 ρούβλια, ν=1,2,3,... , άρα το ψηφίο των δεκάδων
είναι περιττός αριθμός και 0 μονάδες, και με βάση τα δεδομένα φτιάχνουμε την εξίσωση Χ^2-20ν-10= α, α το υπόλοιποτων ρουβλίων που περίσσεψε για τον μικρότερο, άρα 1<=α<=9
Συνεπώς το Χ^2 πρέπει να είναι της μορφής Α*100
(όπου υπάρχουν εκατοντάδες)+10*κ+α, και το κ πρέπει να είναι περιττός ούτε ώστε αφαιρώντας τα ρούβλια που πήραν τα 2 αδέλφια να προκύπτει α<10 πχ 16*16=256 πήραν 250 α=6 και όχι άρτιος γιατί προκύπτει α>10 πχ 15*15=225 πήραν 210,=>α=15, δεν γίνεται δεκτό
Τετράγωνα με αυτήν την προϋπόθεση είναι μόνο όσα είναι της μορφής (Α*10+4)^2 ή (Α*10+6)^2 και
τα οποία και τα 2 αφαιρώντας τα ρούβλια που πήραν τα αδέλφια δίνουν πάντοτε υπόλοιπο α=6 πχ Α=15 =>Χ=15*10+4=154, 154^2=23716 => 23716-23710=6
ή Α=7 =>(7*10+6)^2=76^2=5776 =>5776-5770=6 ρούβλια
Συνεπώς ο σταυρός έκανε (10-6)/2 =2 ρούβλια.
4 ρούβλια έχει ο Σταυρός ανεξάρτητα πόσα πρόβατα πούλησαν. Και αυτό γιατί
ΑπάντησηΔιαγραφήΤα πρόβατα επί της τιμής κάθε προβάτου αποτελεί το σύνολο της είσπραξης. Λόγω του γεγονότος της ίδια αριθμητικής αξίας, η συνολική είσπραξη είναι πρόβατα^2 ή τιμή_προβάτου^2.
Από την άλλη, για να πάρει ο μεγάλος αδελφός 10 ρούβλια και τα τελευταία να τα δώσει στον μικρό αδελφό, σημαίνει ότι το πλήθος των δεκάδων της συνολικής αμοιβής θα είναι μονός αριθμός και θα περισσεύουν κάποιες μονάδες τις οποίες πήρε ο μικρός αδελφός. Αυτό συμβαίνει μόνο εάν το πλήθος των προβάτων λήγει σε 4 ή 6.
Οποιονδήποτε αριθμό και εάν θεωρήσουμε ότι αντιπροσωπεύει το πλήθος των προβάτων με τη μορφή χ4 ή χ6 το αποτέλεσμα τελειώνει σε 6. οπότε για την συμπλήρωση της δεκάδας, έδωσε το Σταυρό που κοστίζει 4 ρούβλια σε κάθε περίπτωση.
Στην τελευταία δεκαεξάδα ο μεγάλος πήρε 10 ρούβλια και ο μικρός 6. Άρα ο Σταυρός κάνει 4 ρούβλια.
ΔιαγραφήΜε χρήση της WolframAlpha
ΑπάντησηΔιαγραφήδίνοντας την εξίσωση χ^2 -(2ν+1)*10=α, 1<=α<=9
μας δίνει ακέραιες λύσεις:
α=6, ν=5n^2+4n, x=10n+4 kai
α=6, ν=5n^2-4n, x=10n-4
(τελείως ξεκούραστα!)
Άρα και πάλι για να ισοφαρίσουν ο σταυρός πρέπει να κοστίζει (10-6)/2 =2 ρούβλια
Ο μεγάλος στο τέλος πήρε 10-2(ο σταυρός που έδωσε)=8
Ο μικρός στο τέλος πήρε 6+2(ο σταυρός που πήρε)=8
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΌταν η γλώσσα παίζει παιχνίδια! :-)
ΑπάντησηΔιαγραφήΝομίζω πως τα Μαθηματικά όλων είναι σωστά,αλλά ως προς την τελική απάντηση ο sw έχει δίκιο. Ο σταυρός δεν "αφαιρείται" από τα μερίδια, δεν είναι μέρος των ρουβλιών. Όταν τον δώσει ο αδερφός τού μένουν τα 10 ρούβλια ατόφια. Δεν απομειώνονται "κατα τον σταυρό", άρα αξίζει όνως 4 ρούβλια, ωστε 10=6+4.
Διευκρίνιση του "Όταν η γλώσσα παίζει παιχνίδια" προς αποφυγή παρεξηγήσεων:
ΑπάντησηΔιαγραφήAν η εκφώνηση έλεγε "του έδωσε ρουβλια αξίας ίση με το σταυρό του" θα ήταν 2 η απάντηση. Αλλά όπως είναι η εκφώνηση είναι σαφές οτι ο σταυρός είναι έξτρα.
Νομίζω ότι η εξίσωση των μεριδίων που ζητείται δεν είναι καλά ορισμένη. Αν ζητάμε το μερίδιο που λαμβάνει ο μικρός να είναι ίδιο με του μεγάλου ανεξαρτήτως αν αυτό είναι εις βάρος του μεγάλου τότε θα μπορούσαμε να πούμε ότι ο σταυρός κοστίζει 4 ρούβλια, αφού έτσι "εξισώνονται τα μερίδια". Το πιο πιθανό όμως είναι ότι εξίσωση μεριδίων σημαίνει δίκαιη μοιρασιά, οπότε στην περίπτωση αυτή η σωστή απάντηση δόθηκε από τον Ευθύμιο Αλεξίου και επιβεβαιώθηκε σωστά από τον papadim, αφού ο σταυρός ανήκει στον μεγάλο αδελφό και συνεπώς αφαιρείται από την περιουσία του.
ΑπάντησηΔιαγραφήswt, μισό λεπτό. Δεν είναι "εις βάρος του μεγάλου" το να είναι έξτρα ο σταυρός. Ας πούμε ότι το προβλημα είναι: "μοιράσαν 10 ευρώ και πήρε 7 ο μεγάλος και 3 ο μικρός" Tι σημείνει "δίκαια";
ΑπάντησηΔιαγραφήΕίτε του δίνει 2 από τα 7 και πάνε 5-5, είτε κρατάει τα 7 και του δίνει το σταυρό=4 και πάνε 7-7
Ο σταυρός όμως (στην εκφώνησή μας)σαφώς δεν είναι "μερίδιο" της μοιρασιάς των ρουβλιών. Τα ρούβλια προέρχονται απο τα πρόβατα. Και σε όλες τις ωραίες και σωστές εξισώσεις των φίλων δεν εμπεριέχεται η αξία του σταυρού. Έτσι δεν είναι;
Είμαστε δηλαδή στην περίπτωση 7 με 7 τελικά του παραδείγματος που λέω.
Μα αν δεχτούμε ότι ο σταυρός κάνει 4 ρούβλια, τότε πριν τη μοιρασιά, ο μεγάλος έχει 4 ρούβλια από τον σταυρό του. Μετά τη μοιρασιά έχει 7 που πήρε μείον 4 που έχασε = 3 ρούβλια, ενώ ο μικρός έχει 3 ρούβλια που πήρε και 4 από το σταυρό = 7 ρούβλια.
ΔιαγραφήΑυτή η μοιρασία είναι λογικά εις βάρος του μεγάλου.
Φίλε swt, παρακολουθώντας τη συζήτηση φοβήθηκα προς στιγμήν πως μετά από το παράδοξο της 'ωραίας κοιμωμένης' με τους halfers και τους thirders, προέκυψε νέος διχασμός με το 'παράδοξο του σταυρού' αυτή τη φορά, τους 4-ers και τους 2-ers.
ΔιαγραφήΕδώ όμως τα πράγματα είναι νομίζω πολύ πιο απλά. Το κλειδί της σωστής απάντησης είναι η ξεκάθαρη, για μένα διατύπωση 'για να εξισώσει τα μερίδια ο μεγαλύτερος του έδωσε τον Σταυρό ΤΟΥ'.
Αφού λοιπόν ο σταυρός ανήκε αναμφίβολα στον μεγάλο και όχι στην κοινή περιουσία (όπως τα πρόβατα), ενώ η εξίσωση των μεριδίων από την πώληση των προβάτων απαιτούσε να δώσει ο μεγάλος 2 ρούβλια στο μικρό, δίνοντάς του το σταυρό ΤΟΥ πάτσισε το 'ισόποσο' της οφειλής ΤΟΥ.
Θα είχες δίκαιο, Γεώργιε, αν ο σταυρός ήταν κληρονομιά και των 2 αδελφών από τον πατέρα τους και τότε δεν θα αφαιρείτο από τα 10 ρούβλια, εξ άλλου σε αυτήν την περίπτωση θα ανήκε το 1/2 στον καθένα οπότε 1/2 *4=2, όμως το πρόβλημα σαν δεδομένο δίνει: "για να εξισώσει τα μερίδια ο μεγαλύτερος του έδωσε τον Σταυρό του", τον σταυρό του, δικιά του αξία, όχι εξ ημισίας κληρονομική, άρα λες ότι για 2 ρούβλια που έπρεπε να δώσει ο μεγάλος στον μικρό για να εξισωθούν τα μερίδια πρέπει να δώσει ένα δικό του, καταδικό του περιουσιακό στοιχείο διπλάσιας αξίας από το χρέος (4 ρούβλια, αφού 4 θεωρείς την αξία του σταυρού αντί 2 ρούβλια που έπρεπε να δώσει)και αυτό δεν αφαιρείται από την περιουσιακή του κατάσταση, μόνο προστίθεται στου μικρού?
ΑπάντησηΔιαγραφήΤζάμπα τα έγραψα τα τελευταία, και έχω και δυσκολία με το πληκτρολόγιο, αφού το σκεπτικό μου καλύφτηκε και με τον παραπάνω από τον swt!
Διαγραφή@swt & Αλεξίου: Έχετε δίκιο. Έκανα λάθος.
ΑπάντησηΔιαγραφή