Κυριακή 4 Αυγούστου 2013

Φονικός κύβος εντός κώνου

Ένα πρόβλημα-"δολοφόνος" (ο όρος θα εξηγηθεί σε μελλοντικό σχόλιο) με αγγελικό πρόσωπο. Δηλαδή με την εξής απλή εκφώνηση:
Μπορούμε να εγγράψουμε έναν κύβο σε έναν κώνο, έτσι ώστε 7 κορυφές του κύβου να εφάπτονται στην παράπλευρη(κυρτή) επιφάνεια του κώνου;
Σημ: Ζητείται  απόδειξη τής -σχεδόν προφανούς διαισθητικά- απάντησης: Όχι.
Αναρτήθηκε από στις 4.8.13
Ετικέτες ,

3 σχόλια:

  1. Unknown8 Αυγούστου 2013 στις 12:54 π.μ.

    Απόδειξη ad absurdum:
    Αν ήταν δυνατόν να εγγραφεί κύβος με 7 κορυφές επί της παράπλευρης κωνικής επιφάνειας, αυτό θα σήμαινε πως θα υπήρχε μία έδρα του κύβου, έστω η ΑΒΓΔ, με όλες τις κορυφές της επί του κώνου και η απέναντι/παράλληλη έδρα, έστω η ΕΖΗΘ ,θα είχε κι αυτή τουλάχιστον 3 κορυφές επί του κώνου.
    Η έδρα ΑΒΓΔ κείται επί ενός επιπέδου που κόβει τον κώνο σε μια κωνική (παραδόξως!:-)) τομή. Δηλαδή σε μια έλλειψη(γενικώς νοούμενης) ή υπερβολή ή παραβολή. Όμως ,μόνο μια έλλειψη μπορεί να είναι περιγεγραμμένη ενός τετραγώνου σε 4 σημεία. Άρα η κωνική τομή είναι έλλειψη, έστω η Ε1.
    Εφόσον η έδρα ΕΖΗΘ είναι παράλληλη της ΑΒΓΔ, τέμνει κι αυτή (δηλαδή το επίπεδό της)τον κώνο αναγκαστικά σε μια κωνική που είναι επίσης έλλειψη ,έστω η Ε2.
    Αν η ΑΒΓΔ είναι συμμετρική ως προς την έλλειψη Ε1 ,οι ακμές της ΑΒ, ΒΓ,ΓΔ,ΔΑ είναι παράλληλες -ανά δύο αντίστοιχα- στους δύο άξονες (μεγάλο και μικρό) της έλλειψης Ε1.
    Εφόσον οι ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ είναι παράλληλες ,και οι Ε1 και Ε2 είναι παράλληλες, άρα έπεται πως η ΕΖΗΘ είναι συμμετρική ως προς την Ε2.
    Αυτό σημαίνει πως οι κορυφές της έδρας ΕΖΗΘ εφάπτονται σε 0 ή 2 ή 4 σημεία της έλλειψης Ε2.
    Αυτό σημαίνει (δεδομένης της αρχικής υπόθεσης περί «τουλάχιστον 3») ότι η ΕΖΗΘ εφάπτεται σε 4 σημεία της Ε2.
    Όμως, είναι προφανές ότι υπάρχει ένα και μοναδικό τετράγωνο που εγγράφεται συμμετρικά σε μία έλλειψη. Και αφού οι Ε1 και Ε2 είναι παράλληλες, είναι όμοιες. Δηλαδή ο λόγος των αξόνων τους είναι ο ίδιος. Έτσι το γεγονός ότι είναι περιγεγραμμένες στο ίδιο τετράγωνο σημαίνει ότι είναι ίσες!
    Αυτό όμως είναι άτοπο. Διαφορετικές παράλληλες κωνικές τομές είναι υποχρεωτικώς άνισες.
    Q.E.D. Cardanus Mediolanensis dixit.

    YΓ. Η παραπάνω απόδειξη δείχνει επίσης ότι η Ε1 δεν μπορεί να είναι κύκλος.
    Επίσης , είναι (σχεδόν) προφανές ότι η δυνατότητα που παρέλειψα, δηλαδή η ΑΒΓΔ να μην είναι συμμετρική ως προς την Ε1 , δεν μπορεί να ισχύει, γιατί κάθε εγγεγραμμένο σε έλλειψη τετράγωνο έχει υποχρεωτικά τις πλευρές του παράλληλες στους 2 κύριους άξονες. (αυτό τυπικά, ίσως πρέπει να αποδειχτεί (γίνεται εύκολα), αλλά το παραλείπω..)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. RIZOPOULOS GEORGIOS8 Αυγούστου 2013 στις 10:46 π.μ.

      Aγαπητέ γιατρέ Ιερώνυμε, η απόδειξή σου μοιάζει εξαίρετη! Ή μάλλον "φανταστική"(imaginary) :-)

      Διαγραφή
  2. RIZOPOULOS GEORGIOS8 Αυγούστου 2013 στις 11:56 π.μ.

    Χαρακτήρισα το πρόβλημα "δολοφόνο" ,δηλαδή λεπτό/παγιδευτικό (υπάρχει και η αμερικανιά "Κiller problems") γιατί το βρήκα σε μια ρώσικη συλλογή από μαθηματικά προβλήματα που (υποτίθεται τουλάχιστον..)έμπαιναν κατα καιρούς στη Σοβιετική Ένωση στα 70s και 80s για να "ξεσκαρτάρουν" ,δηλαδή να οδηγήσουν σε αποτυχία υποψήφιους που δεν ήταν "επιθυμητοί" π.χ για εισαγωγή σε Πανεπιστημια κ.λ.π.
    Η συλλογη χαρακτηρίζει αυτά τα προβλήματα "προβλήματα-φέρετρα" (γιατί προφανώς "έθαβαν" τις ελπίδες του διαγωνιζόμενου) αλλά δεν ήταν απροκάλυπτα δύσκολα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)