Ένα πρόβλημα πιθανοτήτων δικής μου εμπνεύσεως και κατασκευής και αρκετά απαιτητικό θεωρώ.
Στο μικρό Γιωργάκη δίνονται σε ένα παιχνίδι οι ακόλουθες 2 επιλογές:
1. Nα ρίξει ένα τίμιο ("του Λαπλάς") ζάρι και να φέρει έξι ή πέντε ή τέσσερα ή τρία.
2. Να διαλέξει στα τυφλά (ισοπίθανα) από ένα κουτί που περιέχει 3 ίδια μπλουζάκια, ένα μαύρο,ένα άσπρο και ένα κόκκινο. Μετά, φορώντας ένα απο τα μπλουζάκια ρίχνει ένα τίμιο νόμισμα 2 φορές και τέλος τραβάει τα άκρα του σπάγγου, που αχνοφαίνεται στην εικόνα.
Στο παιχνίδι 2 κερδίζει αν: Φορέσει ένα άσπρο μπλουζάκι ή ρίξει διαδοχικά κορώνα - γράμματα, ή αν τραβήξει/τεντώσει τα άκρα Α και Β του σπάγγου και σχηματιστεί κόμπος.
Ποιο από τα παιχνίδια πρέπει να επιλέξει για να παίξει ο Γιωργάκης, ώστε οι πιθανότητες νίκης του να είναι περισσότερες; Το 1 ή το 2;
Θα πρότεινα μια πρώτη γρήγορη "διαισθητική" απάντηση και μετά ακριβή υπολογισμό. Συμπίπτει η διαίσθησή σας με το τελικό αποτέλεσμα;
Υπήρχε ένα λάθος πληκτρολόγησης στην εκφώνηση στο 1. Διορθωθηκε. Το σωστό είναι:" 1. Nα ρίξει ένα τίμιο("του Λαπλάς") ζάρι και να φέρει έξι ή πέντε ή τέσσερα ή τρία."
ΑπάντησηΔιαγραφήΝα διαλέξει το παιχνίδι 1.
ΑπάντησηΔιαγραφήP1=66,66%
P2=33,33% ή 25% ή 50%
Τα γεγονότα του ΠΑΙΧΝΙΔΙΟΎ 2 είναι ανεξάρτητα (ή), οπότε η μέγιστη πιθανότητα κέρδους είναι το 50%
Άρα αφού P1>P2, διαλέγουμε το παιχνίδι 1
Eυχαριστώ για το σχόλιο!
ΔιαγραφήΗ P1 είναι σωστή (66,66% ή 4/6)
Ο υπολογισμός όμως για την P2, είναι λάθος.
Σημείωση/διευκρίνιση: H πιθανότητα ο σπάγγος να σχηματίσει κόμπο δεν είναι δυιαδική,δηλαδή κόμπος ή μη κόμπος. Εξαρτάται από τις διασταυρώσεις 1,2,3 και το τι μπορεί να ισχύει σ'αυτές.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠαιχνίδι 1 : H Πιθανότητα να φέρει το ιδανικό ζάρι 6 ή 5 ή 4 ή 3 είναι:
ΑπάντησηΔιαγραφήP1=4/6=2/3=66,66%
Παιχνίδι 2: Η πιθανότητα να φορέσει λευκό μπλουζάκι P21=1/3=33,33%
Η πιθανότητα να φέρει κορώνα-γράμματα με 2 διαδοχικά ριξίματα του νομίσματος είναι P22=1/4=25%.
H Πιθανότητα να δημιουργηθεί κόμπος με το τράβηγμα των άκρων Α και Β είναι P23=2/8=1/4=25%
(Για να γίνει κόμπος πρέπει το σχοινί ξεκινώντας από το Α ή το Β στα σημεία 1,2,3 ή 3,2,1 αντίστοιχα να είναι πάνω - κάτω-πάνω ή κάτω-πάνω -κάτω σε σχέση με το άλλο τμήμα που διασταυρώνεται.Συνεπώς έχουμε δύο δυνατούς συνδυασμούς για κόμπιασμα στο σύνολο των 8 που δύναται να υπάρξουν.)
Άρα η μέγιστη πιθανότητα για να κερδίσει το παιχνίδι 2 είναι 33,33%.
Έπειδη P1>P2 επιλέγουμε το παιχνίδι 1.
Όσα λες Mαρίνο είναι σχεδόν όλα σωστά. Αλλά το "σχεδόν" χαλάει τη σούπα! :-)
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΔίνω μια μικρή αλλά σημαντική βοήθεια, και δεν θα πω κάτι άλλο για να μην χαλάσω την προσπάθεια λύσης των συμμετεχόντων.
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ πιθανότητα δύο(ή τρία..) ανεξάρτητα μεταξύ τους γεγονότα να συμβούν είτε το ένα είτε το άλλο ,δεν είναι η μεγιστη(max) των 2 πιθανοτήτων! Αυτό μπορεί ας πούμε να γίνει εύκολα κατανοητό με την εξής υπόθεση εργασίας: Aν ήταν έτσι, και ρίχναμε ας πουμε πρώτα ένα νόμισμα και μετά ένα ζάρι, η πιθανότητα να ρίξουμε κορόνα ή 6 θα ήταν η max(P(κορ),p(έξι)=max(1/2 ,1/6)=1/2. Aυτό όμως καταλαβαίνουμε πως δεν μπορεί να είναι σωστό. Μόνη της η πιθαν. για κορώνα είναι 0.5, που θα σήμαινε ότι η έξτρα δυνατότητα να ρίξουμε 6 σε μια ζαριά δεν μας προσέφερε τίποτε(δηλαδή δεν αύξησε τη συνολική μας πιθανότητα επιτυχίας),πράγμα προφανώς άτοπο.
Π1=4/6=0.666..(συμφωνώ με τους παραπάνω)
ΑπάντησηΔιαγραφήΠ2=Π(ΑήΒήΓ)=Π(Α)+Π(Β)+Π(Γ)-Π(ΑκαιΒ)-Π(ΑκαιΓ)-Π(ΒκαιΓ)+
+Π(ΑκαιΒκαιΓ)
Π(Α)=1/3=0,333...(μπλουζάκια)
Π(Β)=0,25(νόμισμα)
Π(Γ)=0,25(κόμποι) άρα
Π2=0,333+0,25+0,25-0,333*0,25-0,333*0,25-0,25*0,25+0,333*0,25*0,25=0,625<Π1
Ναι, η διαίσθηση με ξεγέλασε την έβγαζα κάπου 0.8333, δεν λάβαινα υπόψιν ότι δεν είναι ανεξάρτητα τα ενδεχόμενα , άρα υπάρχουν και τομές συνόλων-πιθανοτήτων
Παραπλήσιο, πολύ πιο απλό, είναι το "Διπλή ρίψη" με την επέκταση του:
Διαγραφήhttp://eisatopon.blogspot.gr/2013/07/blog-post_8253.html
Ήθελα και έπρεπε να γράψω παραπλήσιο, αλλά απλό, είναι το "Διπλή ρίψη" και όχι "πιο απλό", (το "πιο", ως γνωστόν, συγκρίνει ομοειδή πράγματα) και το σημερινό, "Ποιο συμφέρει?", δεν ήταν απλό!
ΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ πιθανότητα επιτυχίας στο παιχνίδι 2 είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των τριών γεγονότων μείον τις πιθανότητες να συμβούν ταυτόχρονα τα γεγονότα ανά δύο συν την πιθανότητα να συμβούν ταυτόχρονα και τα τρία γεγονότα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΔηλαδή P2=P21+P22+P23-P21*P22-P21*P23-P22*P23-P21*P22*P23=1/3+1/4+1/4-1/3*1/4-1/3*1/4-1/4*1/4+1/3*1/4*1/4=0,625=62,5%<P1,άρα επιλέγουμε το παιχνίδι 1.
Αυτά προς διόρθωση των ανωτέρω.
Έτσι! Πολύ ωραίοι και δυνατοί οι εκλεκτοί συνιστολογούντες! (είπα και γώ,ότι θ'αντέξει κανα δυο μέρες το πρόβλημα,αλλά...τζίφος! :-) )
ΑπάντησηΔιαγραφήΠρόσθεσα στην ανάρτηση στο τέλος ένα διάγραμμα Βεν ,που δείχνει-επεξηγεί χαρακτηριστικά νομίζω τον τύπο.
ΥΓ. Πάω να σκαρφιστώ καμιά μερική διαφορική εξίσωση του Κλερώ, μπας και βγούμε μέχρι της Παναγίας έστω.. :-)
Nα προσθέσω ότι η συμπληρωματική τής πιθανότητας p(2)=0,623125(που είναι η πιθανότητα να συμβεί ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΕΝΑ) που βρήκαν οι κύριοι Ματιάτος και Αλεξίου ,δηλαδή η :1-0,623125=0,3768.. είναι η πιθανότητα να μη συμβεί κανένα από τα ενδεχόμενα (άσπρο μπλουζάκι, κορ-γραμ, κόμπος)και η πιθανότητα να συμβεί ΑΚΡΙΒΩΣ ΕΝΑ απο τα ενδεχόμενα (ασ.μπ, κορ-γρ, κόμπος) είναι 0,436875
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ πιθανότητα να συμβεί μόνο το ΕΝΑ από τρία ενδεχόμενα Α,Β,Γ(Α=ασ.μπ, Β=κορ-γρ, Γ=κόμπος),
ΑπάντησηΔιαγραφήκάνοντας χρήση διαγραμμάτων Βέν και ταυτόχρονα και απόδειξη του τύπου που προκύπτει,είναι:
Π(μ ένα)=Π(Α)+Π(Β)-2Π(ΑκαιΒ)-{Π(ΑκαιΓ)-Π(ΑκαιΒκαιΓ)}-{Π(ΒκαιΓ)-Π(ΑκαιΒκαιΓ)}+Π(Γ)-Π(ΑκαιΓ)- {Π(ΒκαιΓ)-Π(ΑκαιΒκαιΓ)}=
Π(Α)+Π(Β)+Π(Γ)-2*Π(ΑκαιΒ)-2*Π(ΑκαιΓ)-2*Π(ΒκαιΓ)
+3*Π(ΑκαιΒκαιΓ)
και τοποθετώντας τις αντίστοιχες τιμές στην παραπάνω σχέση έχουμε:
1/3 +1/2 +1/2 -2*1/(3*4) -2*1/(3*4)-2*1/(4*4) +3*1/(3*4*4)= 7/16 =0.4375
Διόρθωση πληκτρολογικού λάθους
Διαγραφή1/3+1/4+1/4-2*1/(3*4)-2*1/(3*4)-2*1/(4*4)
+3*1/(3*4*4)= 7/16 =0.4375