Λέοπολντ Κρόνεκερ
Ένα τριώροφο πολυκατάστημα διαθέτει ένα ασανσέρ. Οι όροφοι επικοινωνούν μεταξύ τους μόνο μέσω αυτού του ασανσέρ. Τη νύχτα δεν παραμένει κανείς στο κατάστημα. Τη μέρα ισχύουν τα εξής:
1. Από τους πελάτες που μπαίνουν στο ασανσέρ στον δεύτερο όροφο, οι μισοί πάνε στον πρώτο όροφο και οι μισοί πάνε στον τρίτο όροφο.
2. Ο αριθμός των πελατών που βγαίνουν από το ασανσέρ στον τρίτο όροφο είναι μικρότερος από το 1/3 του ολικού αριθμού των πελατών που βγαίνουν από το ασανσέρ γενικά.
Ποιος είναι μεγαλύτερος; Ο αριθμός των πελατών που σε μια μέρα πάνε από τον πρώτο όροφο στον δεύτερο, ή ο αριθμός των πελατών που πάνε από τον πρώτο στον τρίτο;
Έστω Α1 πελάτες μπαίνουν στον 1ο (Α1 και θα βγούν) και Α2 πάνε στον 2ο και Α3 στoν 3ο, Α1=Α2+Α3 και έστω Κ άτομα από τον 3ο πάνε στον 2ο για 1η, 2η, 3η,..κλπ φορά (αδιάφορο όπως θα φανεί παρακάτω) εξαρτάται μόνο από τον αριθμό των
ΑπάντησηΔιαγραφήπελατών και πόσες φορές μπορεί να διαιρεθεί με το 2, τότε Κ/2 θά ξαναγυρίσουν στον 3ο για 2η,3η,... φορά
Άρα Α3+Α2/2+Κ/2<{(Α3+Α2/2+Κ/2)+(Κ+Α2)+(Α2+Α3)}/3 =>3*Α3+3Α2/2+3Κ/2<2Α3+5Α2/2+3Κ/2 (3Κ/2=3Κ/2, γιαυτό το “αδιάφορο”)=>
Α3<5Α2/2- 3Α2/2 -> Α3<Α2 (και αν βγαίνει από το ασανσέρ στον 3ο το 1/3 ακριβώς τότε Α3=Α2
@Aλεξίου: Πολύ σωστά!
ΑπάντησηΔιαγραφήΜια -ίδια επί της ουσίας- αλλά κάπως πιο εποπτική αλγεβρική προσέγγιση:
Aς ονομάσουμε τις διαδρομές από τον 1ο όροφο στον 2ο α12,από τον 2ο στον 1ο:α21, και ομοίως και τις υπόλοιπες. Έχουμε διαδρομές "Προς τον τρίτο": (a13 + a23), διαδρομές"από τον τρίτο":(α31 + α32), και διαδρομές μεταξύ 1ου και 2ου: (α12 + α21). Εξ υποθέσεως, το πρώτο σύνολο είναι <1/3 όλων των διαδρομών. Επειδή η επικοινωνία γίνεται μόνο με το ασανσερ και το κτίριο αδειάζει το βράδυ, ο ολικος αριθμός που πάνε στον τρίτο είναι ίσος με τον αριθμό που φευγουν απο τον τριτο. Έπεται ότι η τριτη ομάδα είναι μεγαλύτερη,αφού οι 2 πρώτες είναι αναγκαστικά ίσες:
(α31 + α32) = (α13 + α23) < (α12 + α21)
Αν αντικαταστήσουμε α21 = α23, έχουμε α13 < α12
Αφού το βράδυ δεν μένει κανείς στο κτήριο, πως μπαίνουν απο το 2ο όροφο;
ΑπάντησηΔιαγραφή@ΔΕΝΣ: Ο 2ος αδειάζει είτε μέσω του τρίτου (α23-->α31) είτε απευθείας (α21). Πού είναι το παράξενο;
ΑπάντησηΔιαγραφή