Σπουδή στα εγγράψιμα τετράπλευρα

Στο τεύχος Μαΐου 2013 του Crux Mathematicorum διαβάζουμε το άρθρο των Nicuşor Minculete, Cătălin Barbu and Gheorghe Szöllősy με τίτλο: "About the Japanese Theorem". 

Στο άρθρο αυτό αποδεικνύεται μια σειρά από θεωρήματα σχετικά με τα εγγράψιμα τετράπλευρα. Κάποια είναι πασίγνωστα, ενώ άλλα είναι σχετικά άγνωστα. 

Ας τα δούμε και ας επιχειρήσουμε να βρούμε αποδείξεις. 

Ας είναι $\displaystyle{ABCD}$ εγγράψιμο τετράπλευρο με μήκη πλευρών $\displaystyle{a=AB,b=BC,c=CD, d=DA,}$ διαγωνίους $\displaystyle{e=AC,f=BD.}$ 

Επίσης, ας είναι $\displaystyle{r_a,r_b,r_c,r_d}$ οι ακτίνες των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $\displaystyle{BCD,CDA,DAB,ABC,}$ αντίστοιχα. 

Τότε, ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: 

$\displaystyle{\bf \color{red}(1)} \displaystyle{ef=ac+bd~}$ (1o Θεώρημα του Πτολεμαίου) $\displaystyle{\bf \color{red}(2)} \displaystyle{\frac{e}{f}=\frac{ad+bc}{ab+cd}~}$ (2ο Θεώρημα του Πτολεμαίου) 

$\displaystyle{\bf \color{red}(3)} \displaystyle{r_a+r_c=r_b+r_d}$ (Θεώρημα των Ιαπώνων) $\displaystyle{\bf \color{red}(4)} \displaystyle{\frac{e}{f}=\frac{(a+b+e)(c+d+e)}{(b+c+f)(a+d+f)}.}$ $\displaystyle{\bf \color{red}(5)} \displaystyle{r_ar_ce=r_br_df}$ 

$\displaystyle{\bf \color{red}(6)} \displaystyle{\frac{abe}{a+b+e}+\frac{cde}{c+d+e}=\frac{bcf}{b+c+f}+\frac{adf}{a+d+f}}$ 

$\displaystyle{\bf \color{red}(7)} \displaystyle{f\Big(\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_c}\Big)=e\Big(\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_d}\Big)}$ 

$\displaystyle{\bf \color{red}(8)} \displaystyle{e(r_a ^2+r_c ^2)=f(r_b ^2+r_d ^2).}$

Πηγή: mathematica (matha)