▪ Το Αξίωµα τής Πληρότητας

Ορισµός

΄Ενα σύνολο $A ⊂ R$ λέγεται: 

(1) ΄Ανω ϕραγµένο, αν υπάρχει $s ∈ R$ τέτοιο ώστε $a ≤ s$ για κάθε $a∈A$. Κάθε τέτοιο $s $ ονοµάζεται άνω ϕράγµα τού $A$.

(2) Κάτω ϕραγµένο, αν υπάρχει $ℓ ∈ R$ τέτοιο ώστε $a ≥ ℓ$ για κάθε $a∈A$. Κάθε τέτοιο $ℓ $ ονοµάζεται κάτω ϕράγµα τού $A$.

(3) Φραγµένο, αν είναι άνω και κάτω ϕραγµένο.

Γεωµετρικά, όλα τα στοιχεία ενός άνω ϕραγµένου συνόλου είναι αριστερά από κάποιον αριθµό. ΄Ολα τα στοιχεία ενός κάτω ϕραγµένου συνόλου είναι δεξιά από κάποιον αριθµό. ΄Ολα τα στοιχεία ενός ϕραγµένου συνόλου είναι ανάµεσα σε δυο αριθµούς.

Παραδείγµατα

Το $(0, +∞)$ είναι κάτω ϕραγµένο, όχι άνω ϕραγµένο. ΄Ενα κάτω ϕράγµα είναι το $−1289092$.

΄Ενα άλλο κάτω ϕράγµα είναι το $0$. Στην πραγµατικότητα, κάθε αριθµός µικρότερος από ή ίσος µε µηδέν είναι κάτω ϕράγµα. Το $(0,1)$ είναι ϕραγµένο. ΄Ενα κάτω ϕράγµα είναι το $0$ και ένα άνω ϕράγµα είναι το $10^{1000}+5647$.

΄Ενα άλλο άνω ϕράγµα είναι το $1$. Παρατηρήστε και εδώ ότι κάθε αριθµός µεγαλύτερος από ή ίσος µε 1 είναι άνω ϕράγµα. Το $1$ είναι το ελάχιστο από όλα τα άνω ϕράγµατα.

Παρατήρηση. ΄Ενα σύνολο $A ⊂ R$ είναι ϕραγµένο αν και µόνο αν υπάρχει $c > 0$ τέτοιο ώστε $|a| ≤ c$ για κάθε $a ∈ A$. Η µια κατεύθυνση είναι προφανής: Αν υπάρχει τέτοιο c τότε ένα άνω ϕράγµα τού $A$ είναι το $c$ και ένα κάτω ϕράγµα είναι το $−c$. Αντίστροφα, αν το $A$ είναι ϕραγµένο και $s, ℓ$ είναι ένα άνω και ένα κάτω ϕράγµα αντίστοιχα, τότε για c µπορούµε να πάρουµε το $max{|s|,|ℓ|}$.

Αξίωµα (Η πληρότητα των πραγµατικών αριθµών) 

Εστω $A⊂R$ άνω ϕραγµένο. Τότε το $A$ έχει ελάχιστο άνω ϕράγµα το οποίο ονοµάζεται supremum τού A και συµβολίζεται µε $sup A$. Αν το $A$ δεν είναι άνω ϕραγµένο τότε γράφουµε $sup A = +∞$.

Παραδείγµατα

$sup(0 + ∞) = +∞$

$sup(−∞,1) = sup(0,1) = sup(0,1] = 1$.

Θεώρηµα (΄Υπαρξη infimum)

΄Εστω $A ⊂ R$ κάτω ϕραγµένο. Τότε το $A$ έχει µέγιστο κάτω ϕράγµα το οποίο ονοµάζεται infimum τού $A$ και συµβολίζεται µε $inf A$. Αν το A δεν είναι κάτω ϕραγµένο τότε γράφουµε $inf A = −∞$. 

Απόδειξη

Θέτουµε $B = \{−a : a ∈ A\}$. Αφού το $A$ είναι κάτω ϕραγµένο, το $B$ είναι άνω ϕραγµένο, εποµένως από το αξίωµα τής πληρότητας έχει supremum, έστω $s$. Τότε το $−s$ είναι το infimum τού $A$.
Πηγή: Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ (Θέµης Μήτσης).