▪ Το Αξίωµα τής Πληρότητας

Ορισµός

΄Ενα σύνολο $A\subset R$ λέγεται: 

(1) ΄Ανω ϕραγµένο, αν υπάρχει $s\in R$ τέτοιο ώστε $a\le s$ για κάθε $a\in A$. Κάθε τέτοιο $s$ ονοµάζεται άνω ϕράγµα τού $A$.

(2) Κάτω ϕραγµένο, αν υπάρχει $\ell \in R$ τέτοιο ώστε $a\ge \ell$ για κάθε $a\in A$. Κάθε τέτοιο $\ell$ ονοµάζεται κάτω ϕράγµα τού $A$.

(3) Φραγµένο, αν είναι άνω και κάτω ϕραγµένο.

Γεωµετρικά, όλα τα στοιχεία ενός άνω ϕραγµένου συνόλου είναι αριστερά από κάποιον αριθµό. ΄Ολα τα στοιχεία ενός κάτω ϕραγµένου συνόλου είναι δεξιά από κάποιον αριθµό. ΄Ολα τα στοιχεία ενός ϕραγµένου συνόλου είναι ανάµεσα σε δυο αριθµούς.

Παραδείγµατα

Το $(0,+\infty )$ είναι κάτω ϕραγµένο, όχι άνω ϕραγµένο. ΄Ενα κάτω ϕράγµα είναι το $-1289092$.

΄Ενα άλλο κάτω ϕράγµα είναι το $0$. Στην πραγµατικότητα, κάθε αριθµός µικρότερος από ή ίσος µε µηδέν είναι κάτω ϕράγµα. Το $(0,1)$ είναι ϕραγµένο. ΄Ενα κάτω ϕράγµα είναι το $0$ και ένα άνω ϕράγµα είναι το ${10}^{1000}+5647$.

΄Ενα άλλο άνω ϕράγµα είναι το $1$. Παρατηρήστε και εδώ ότι κάθε αριθµός µεγαλύτερος από ή ίσος µε 1 είναι άνω ϕράγµα. Το $1$ είναι το ελάχιστο από όλα τα άνω ϕράγµατα.

Παρατήρηση. ΄Ενα σύνολο $A\subset R$ είναι ϕραγµένο αν και µόνο αν υπάρχει $c>0$ τέτοιο ώστε $|a|\le c$ για κάθε $a\in A$. Η µια κατεύθυνση είναι προφανής: Αν υπάρχει τέτοιο c τότε ένα άνω ϕράγµα τού $A$ είναι το $c$ και ένα κάτω ϕράγµα είναι το $-c$. Αντίστροφα, αν το $A$ είναι ϕραγµένο και $s,\ell$ είναι ένα άνω και ένα κάτω ϕράγµα αντίστοιχα, τότε για c µπορούµε να πάρουµε το $max|s|,|\ell |$.

Αξίωµα (Η πληρότητα των πραγµατικών αριθµών) 

Εστω $A\subset R$ άνω ϕραγµένο. Τότε το $A$ έχει ελάχιστο άνω ϕράγµα το οποίο ονοµάζεται supremum τού A και συµβολίζεται µε $supA$. Αν το $A$ δεν είναι άνω ϕραγµένο τότε γράφουµε $supA=+\infty$.

Παραδείγµατα

$sup(0+\infty )=+\infty$

$sup(-\infty ,1)=sup(0,1)=sup(0,1]=1$.

Θεώρηµα (΄Υπαρξη infimum)

΄Εστω $A\subset R$ κάτω ϕραγµένο. Τότε το $A$ έχει µέγιστο κάτω ϕράγµα το οποίο ονοµάζεται infimum τού $A$ και συµβολίζεται µε $infA$. Αν το A δεν είναι κάτω ϕραγµένο τότε γράφουµε $infA=-\infty$. 

Απόδειξη

Θέτουµε $B=\{-a:a\in A\}$. Αφού το $A$ είναι κάτω ϕραγµένο, το $B$ είναι άνω ϕραγµένο, εποµένως από το αξίωµα τής πληρότητας έχει supremum, έστω $s$. Τότε το $-s$ είναι το infimum τού $A$.
Πηγή: Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ (Θέµης Μήτσης).