▪ Το Βοεικόν Πρόβλημα

Το πρόβλημα αυτό έφερε στο φως ο Γερμανός φιλόλογος, φιλόσοφος, συγγραφέας, θεατρικός κριτικός και μέγας Ελληνολάτρης Gotthold Ephraim Lessing (1729-1781) όταν το 1969 ανακάλυψε ένα βυζαντινό χειρόγραφο του 14ου αιώνα το οποίο περιείχε 4 άγνωστα ποιήματα της Παλατινής Ανθολογίας. Σήμερα, το χειρόγραφο αυτό βρίσκεται στη βιβλιοθήκη του Wolfenbuttel της βόρειας Γερμανίας. Το σημαντικότερο από τα 4 ποιήματα είναι αυτό του Αρχιμήδη. Πρόκειται για πρόβλημα απροσδιόριστου αναλύσεως. Είναι γραμμένο στην Ιωνική διάλεκτο,ακολουθεί ελεγειακό μέτρο και αποτελείται από 22 δίστιχα (ένα εξάμετρο και ένα πεντάμετρο).
Ο Αρχιμήδης πρότεινε το αριθμητικό αυτό πρόβλημα με επιστολή του προς τον Ερατοσθένη και του ζήτησε το πλήθος των βόων του θεού Ήλιου που σύμφωνα με τον ποιητή  Όμηρο Μπεκέ έβοσκαν στο νησί Θρηνακία (σύμφωνα με την παράδοση που επιβίωνε στα χρόνια του Αρχιμήδη, τα βόδια αυτά έβοσκαν στη σικελική πόλη Ταορμίνα, περίπου 85 χιλιόμετρα βόρεια των Συρακουσών.
Στο ποίημα ο Αρχιμήδης ονομάζει τη Σικελία "Θρινάκιο νησί", που σημαίνει το νησί που έχει τρεις γωνίες).

Από το γεγονός αυτό έμεινε γνωστό στην Ιστορία ως ''βοεικό πρόβλημα''.

Το πρόβλημα σε ελεύθερη μετάφραση:

''Ξένε μου,αν είσαι σοφός και ο νους σου κατεβάζει,προσεκτικά υπολόγισε πόσα βόδια του Ήλιου που βόσκανε σε τέσσερα κοπάδια μοιρασμένα στους κάμπους τους Σικελικούς της νήσου Θρινακίας...

Καθένα από αυτά είχε δικό του χρώμα.

Το πρώτο άσπρο ήτανε,κατάλευκο σαν γάλα

το δεύτερο σκουρόχρωμο,το άλλο ξανθό και το άλλο είχε διάφορα.

Και μέσα στα κοπάδια ήτανε ταύροι αμέτρητοι και καταμερισμένοι.

Στοχάσου ξένε για να βρεις στο πρόβλημα τη λύση:

Των ταύρων των λευκότριχων θέλεις να βρείς το πλήθος. Πάρε από τους σκούρους τους μισούς,το τρίτο τους και βάλε και όλους τους ταύρους τους ξανθούς και όλους πρόσθεσε τους...

Αν τώρα των μαυριδερών θέλεις να βρεις το πλήθος,πάρε από τους πολύχρωμους το τέταρτο,το πέμπτο,μαζι με όλους τους ξανθούς,κι αμέσως πρόσθεσε τους...

Για να βρείς τους πολύχρωμους που μένουμε θυμήσου,να πάρεις το έκτο,το έβδομο των άσπρων και ακόμη πάρε τους ταύρους τους ξανθούς και πρόσθεσέ τους όλους.

Τις γελάδες για να βρείς σκέψου τα παρακάτω:

Πρώτα για να βρεις τις λευκές τις αγελάδες πάρε το τρίτο και το τέταρτο του κοπαδιού των σκούρων.Όλες τις σκούρες για να βρεις,που βόσκουν με τους ταύρους,πάρε από τις πολύχρωμες το τέταρτο και πέμπτο.

Για να βρεις τις πολύχρωμες τις αγελάδες πάρε από το κοπάδι το ξανθό το πέμπτο και το έκτο.

Για να μετρήσεις τις ξανθές σκέψου πως ήταν τόσες όσο του τρίτου το μισό και το έβδομο ακόμη αυτών του άσπρου κοπαδιού.

Αν λογαριάσεις ακριβώς χώρια το κάθε χρώμα τους,τους σαρκωμένους ταύρους μα και τις αγελάδες τους,χώρια το κάθε χρώμα,θα'σαι σοφός και όχι άσχετος στων αριθμών την τέχνη...

Πρόσεξε όσα θα σου πω για του Ήλιου ταύρους:

Οι ταύροι οι λευκότριχοι σαν πήγαιναν και σμίγαν μαζί με τους μαυριδερούς τους ταύρους όλοι αντάμα,γινόντουσαν ισόμετροι στο μάκρος και στο πλάτος, τετράγωνο σχημάτιζαν στης Θρινακίας τους κάμπους...

Κι οι ταύροι οι πολύχρωμοι με τους ξανθούς παρέα σχημάτιζαν σαν στέκονταν τριγωνικό ένα σχήμα και λιγόστευαν βαθμηδόν και φτάνανε στον ένα, χωρίς μαζί να βρίσκονται ταύροι με άλλο χρώμα κι ούτε από τους ταύρους μας αυτούς κανένας τους να λείπει...

Αν λογαριάσεις ξένε μου των κοπαδιών τα πλήθη, μπορεί να'σαι περήφανος κι όπου κι αν πας να ξέρεις πως κρίθηκες και νίκησες κι είσαι σοφός σπουδαίος..."

Το πρόβλημα ζητά να υπολογιστούν οι ταύροι και οι αγελάδες καθενός από τα παρακάτω χρώματα:
λευκό, κυανό (μαύρο), ξανθό, ποικιλόχρωμο, το πλήθος των οποίων συμβολίζεται με τα γράμματα: $Λ,Κ,Π,Ξ$ (για τους ταύρους) και $λ,κ,π,ξ$ (για τις αγελάδες). Αποτελείται από δύο κύρια μέρη. Στο πρώτο κύριο μέρος δίνονται γραμμικές σχέσεις μεταξύ των αγνώστων που οδηγούν σε ένα σύστημα $7 $ εξισώσεων με 8 αγνώστους ενώ το δεύτερο μέρος του προβλήματος ζητά να προσδιοριστεί εκείνη η λύση η οποία ικανοποιεί δύο ακόμα συνθήκες. Οι εξισώσεις αυτές είναι οι παρακάτω:

$Λ=(1/2 + 1/3)Κ+Ξ$

$Κ=(1/4+1/5)Π+Ξ$

$Π=(1/6+1/7)Λ+Ξ$

$π=(1/5+1/6)(Ξ+ξ)$

$ξ=(1/6+1/7)(Λ+λ)$

$κ=(1/4+1/5)(Π+π)$

$λ=(1/3+1/4)(Κ+κ)$

Η προκύπτουσα απάντηση είναι ασύλληπτα μεγάλος αριθμός, κάτι το οποίο γνώριζε ο συντάκτης του προβλήματος όπως φαίνεται από τα συμφραζόμενα.

Το χειρόγραφο περιλαμβάνει ένα σχόλιο το οποίο ισχυρίζεται ότι δίνει την απάντηση του προβλήματος,δεν συνοδεύεται όμως από την μέθοδο λύσης του. Η λύση του προβλήματος αυτού είναι μονοπαραμετρική και με $ν$ συμβολίζεται η απροσδιόριστη παράμετρος. Στο σχόλιο αυτό οι αριθμοί που δίνονται ικανοποιούν τις $7$ γραμμικές εξισώσεις και προκύπτουν από την τιμή '$ν=80$' της παραμέτρου όμως δεν ικανοποιούν τις συνθήκες του δεύτερου κύριου μέρους του προβλήματος. Η γενική λύση είναι:

$Λ=2*7*53*4.657ν=10.366.482ν$

$Κ=2*32*89*4.657ν=7.460.514ν$

$Π=22*5*79*4.657ν=7.358.060ν$

$Ξ=34*11*4.657ν=4.149.387ν$

$λ=23*3*5*7*23*373ν=7.206.360ν$

$κ=2*32*17*15.991ν=4.893.246ν$

$π=22*3*5*7*11*761ν=3.515.820ν$

$ξ=32*13*46.489ν=5.439.213ν$

Μέχρι αυτό το σημείο το πρόβλημα δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολο. Η δυσκολία εμφανίζεται όταν προσπαθήσει κανείς να ικανοποιήσει τις συνθήκες του δεύτερου μέρους του προβλήματος. Αυτό απαιτεί να είναι το άθροισμα $(Λ+Κ)$ τέλειο τετράγωνο και το άθροισμα $(Π+Ξ)$ να είναι τρίγωνος αριθμός. Η τιμή της παραμέτρου ν που ικανοποιεί την πρώτη από τις δυο συνθήκες είναι οι εξής: 

$ν=3*11*29*4.657*ζ2$

όπου $ζ$ ακέραιος αριθμός. Η δεύτερη συνθήκη μας οδηγεί σε μια εξίσωση Pell της μορφής $χ^2 - Dy^2=1$, συγκεκριμένα την 

$χ^2 - 410.286.423.278.424y^2 =1$

η οποία δεν είναι καθόλου εύκολη να λυθεί.

Η απάντηση του προβλήματος είναι χαώδης.Δηλαδή,το πλήθος των ταύρων και των αγελάδων κάθε χρώματος είναι πάρα πολύ μεγάλο. Περισσότερο από $206.500$ ψηφία η κάθε μια από τις απαντήσεις αυτές και για λόγο αυτό είναι αδύνατο να τις προσδιορίσει χωρίς την χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή. Στη λύση με τη μικρότερη τιμή αντιστοιχεί πλήθος βοδιών που εκφράζεται με τον αριθμό $7766$ ο οποίος ακολουθείται από $206541$ μηδενικά. Για να γραφτούν οι τιμές όλων των αγνώστων του προβλήματος απαιτείται ένας τόμος $660$ σελίδων.

Το 1965, δύο χιλιάδες χρόνια μετά την ανακάλυψη του χειρόγραφου, οι Williams German και Zarnke με χρήση δύο υπολογιστών της IBM κατέγραψαν την λύση όχι όμως πλήρη.Δημοσίευσαν το άρθρο τους την ίδια χρονιά,στο Mathematics of Computation, τόμος 19.
Πηγή: archimedes4lykdrama