▪Δεσμευμένη πιθανότητα

Έστω ${\rm A}$ και ${\rm B}$ δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου $\Omega$ με $P(B)>0$. Ας υποθέσουμε ότι ζητάμε την πιθανότητα του ${\rm A}$ με δεδομένο ότι το ${\rm B}$ έχει ήδη πραγματοποιηθεί.

Αφού έχει πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο ${\rm B}$, η απλή λογική μας λέει ότι πρέπει να περιοριστούμε στα στοιχεία του ${\rm B}$ και από αυτά να βρούμε ποια είναι τα ευνοϊκά για το ${\rm A}$. Με άλλα λόγια η πληροφορία για την πραγματοποίηση του ${\rm B}$ περιορίζει το δειγματικό χώρο $\Omega$ στο ${\rm B}$ και το ενδεχόμενο ${\rm A}$ στο $A\cap B$. Επομένως, αν υποθέσουμε ότι ο δειγματικός χώρος $\Omega$ αποτελείται από ισοπίθανα αποτελέσματα, η ζητούμενη πιθανότητα είναι:

$P(A\mid B)=\frac{N(A\cap B)}{N(B)}$= $\frac{\frac{N(A\cap B)}{N(\Omega )}}{\frac{N(B)}{N(\Omega )}}$= $\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.

Η πιθανότητα αυτή λέγεται δεσμευμένη πιθανότητα του ${\rm A}$ με δεδομένο το ${\rm B}$. Γενικά:

Αν ${\rm A}$ και ${\rm B}$ είναι δύο ενδεχόμενα ενός πειράματος και $P(B)>0$, τότε ο λόγος

$\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

λέγεται δεσμευμένη πιθανότητα του ${\rm A}$ με δεδομένο το ${\rm B}$ και συμβολίζεται με $P(A|B)$. Δηλαδή:

$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.

Ομοίως, αν $P(A)>0$, τότε

$P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.