▪Δεσμευμένη πιθανότητα

Έστω $Α$ και $Β$ δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου $Ω$ με $P(B) > 0$. Ας υποθέσουμε ότι ζητάμε την πιθανότητα του $Α$ με δεδομένο ότι το $Β$ έχει ήδη πραγματοποιηθεί.

Αφού έχει πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο $Β$, η απλή λογική μας λέει ότι πρέπει να περιοριστούμε στα στοιχεία του $Β$ και από αυτά να βρούμε ποια είναι τα ευνοϊκά για το $Α$. Με άλλα λόγια η πληροφορία για την πραγματοποίηση του $Β$ περιορίζει το δειγματικό χώρο $Ω$ στο $Β$ και το ενδεχόμενο $Α$ στο $A ∩ B$. Επομένως, αν υποθέσουμε ότι ο δειγματικός χώρος $Ω$ αποτελείται από ισοπίθανα αποτελέσματα, η ζητούμενη πιθανότητα είναι:

$P(A\mid{B})=\frac{N(A\cap{B})}{N(B)}$= $\frac{\frac{N(A\cap{B})}{N(Ω)}}{\frac{N(B)}{N(Ω)}}$= $\frac{P(A\cap{B})}{P(B)}$.

Η πιθανότητα αυτή λέγεται δεσμευμένη πιθανότητα του $Α$ με δεδομένο το $Β$. Γενικά:

Αν $Α$ και $Β$ είναι δύο ενδεχόμενα ενός πειράματος και $P(B) > 0$, τότε ο λόγος

$\frac{P(A\cap{B})}{P(B)}$

λέγεται δεσμευμένη πιθανότητα του $Α$ με δεδομένο το $Β$ και συμβολίζεται με $P(A|B)$. Δηλαδή:

$P(A\mid{B})=\frac{P(A\cap{B})}{P(B)}$.

Ομοίως, αν $P(A) > 0$, τότε

$P(B\mid{A})=\frac{P(A\cap{B})}{P(A)}$.