Στον παρακάτω στόχο, αν σημαδέψουμε στο κέντρο παίρνουμε 7 βαθμούς και αν σημαδέψουμε στο μπλε παίρνουμε 5 βαθμούς.
Ρίχνουμε όσα βελάκια θέλουμε. Μερικές βαθμολογίες είναι αδύνατο να επιτευχθούν π.χ $1,2,3,4,6,8,9,11$ κ.ά.
Ποια είναι η μεγαλύτερη βαθμολογία που δεν μπορούμε να συγκεντρώσουμε;
Η μεγαλύτερη βαθμολογία που δεν μπορούμε να συγκεντρώσουμε είναι 53
ΑπάντησηΔιαγραφήΟι βαθμολογίες που που μπορούμε να πετύχουμε δίνονται από την σχέση 5μ+7ν
Πολλαπλάσια του 5: 5,10,15,...
Πολλαπλάσια του 7 ταξινομημένα με τον λήγοντα αριθμό 21,42,63,14,35(το έχουμε και από το 5),56,7,28,49.
Άρα οι όλοι οι αριθμοί από 63 και πάνω επιτυγχάνονται. Οι αριθμοί 54(40+14),55(5*11,35+20),56(8*7),57(50+7),58(28+30),59(49+10),60(12*5),61(21+40),62(42+20) επίσης επιτυγχάνονται, άρα ο μεγαλύτερος που δεν επιτυγχάνεται είναι ο 53.
κ. Αλεξίου το 53 επιτυγχάνεται,
ΑπάντησηΔιαγραφή(4x7) + (5x5)= 28 + 25 = 53.
Έχετε απόλυτο δίκαιο κ. Ρωμανίδη (έλαβα υπόψιν μόνο τις δεκάδες σαν πολλαπλάσια του 5!..) και ευχαριστώ για την τιμητική παρατήρηση σας.
ΑπάντησηΔιαγραφήΈτσι λαβαίνοντας υπόψιν όλα τα πολλαπλάσια του 5 (και τα 15,25,35,..) βρίσκω ότι όλοι οι αριθμοί από το 24 και πάνω ικανοποιούν την εξίσωση 5μ+7ν, μ,ν=0,1,2,.. και ο μεγαλύτερος που δεν επιτυγχάνεται είναι ο 23(5+18, 10+13,15+8)
Εφόσον οι: 5 και 7 είναι σχετικώς πρώτοι (M.K.Δ=1)
ΑπάντησηΔιαγραφήο μέγιστος ανέφικτος αριθμός είναι 5*7-(7+5)=23
(αριθμοί/πρόβλημα του Φρομπένιους...προχωρημένη Θ.αριθμών)
Ουσιαστικά το πρόβλημα συνδέεται στη γενική του μορφή με τις λύσεις (ή μάλλον τη μη-λύση!) της γραμμικής διοφαντικής εξίσωσης:
ΑπάντησηΔιαγραφήa1.x1 + a2.x2 + .. + ap.xp = N ,για δεδομένο N και M.K.Δ(a1,a2,..ap)=1
H 5x+7y=23 δεν έχει λύση.
Αν ας πούμε ο στόχος είχε 5,7, και 9. ο μέγιστος ανέφικτος αριθμός θα ήταν το 13. Αν είχε 5 και 9 θα ήταν το 31
Αν είχε 11 και 13 ,θα ήταν το 119.