Τρίτη 16 Ιουλίου 2013

▪ $a,b\in{(0,1)}$

Έστω $a,b$ δύο αριθμοί, που επιλέγονται τυχαία από το διάστημα $(0,1)$. Να βρεθεί η πιθανότητα η εξίσωση 
$χ^2-\sqrt{a}x+b=0$
να έχει πραγματικές ρίζες.
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
Αναρτήθηκε από στις 16.7.13
Ετικέτες , ,

2 σχόλια:

  1. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ16 Ιουλίου 2013 στις 1:05 μ.μ.

    χ=(-β +-ρίζαΔ)/2α, Δ=β^2-4αγ

    x={-(-α^0.5)+-(α-4b)^0.5)}/2 =
    x={α^0.5)+-(α-4b)^0.5)}/2
    άρα για να έχει πραγματικές ρίζες πρέπει
    (α-4b)^0.5) >= 0 => α-4b >= 0 =>
    b<=α/4
    α=0,00 b(0 έως 0) P=0/100
    α=0.01 b (,έως 0,0025) P=0,25/100
    α=0.02 b(0 έως 0,005) P=0,50/100
    …................................................
    ….................................................
    α=0,99 b(0 έως 0,2475) P=24,75/100
    α=1,00 b(0 έως 0,25) P=25/100
    Pολικό=(100/2)*25/100^2 =0,125=12,50%

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. RIZOPOULOS GEORGIOS16 Ιουλίου 2013 στις 6:32 μ.μ.

    Nα προσθέσω ότι γενικά για την δευτεροβάθμια εξίσωση της μορφής: x^2 +αx+β=0 ,όπου α και β ανεξάρτητες μεταξύ τους τυχαίες μεταβλητές ,η καθεμιά από τις οποίες είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στο (0,1) θα πρέπει να ισχύει β<=(α^2)/4. Η ζητούμενη πιθανότητα είναι λοιπόν το εμβαδό ΚΑΤΩ από την καμπύλη β=α^2/4 μεταξύ α=0 και α=1 . Αυτό ισούται με το
    Ολοκλήρωμα (από 0 έως 1)(x^2)/4 dx=1/12
    Στην ειδική περίπτωσή μας , η καμπύλη είναι η ευθεία α/4 και το ολοκλήρωμα γίνεται Ολοκλ(0 ώς 1)x/4 dx= 1/8 (ή 0,125) ,όπως σωστά υπoλόγισε ο Ε.Αλεξίου με την αξιοθαύμαστη (και δύσκολη!) "πρακτική ολοκλήρωσή" του. :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)