▪ Γεωμετρία - Ασκήσεις 646 - 647 - 648 - 649

646) Έστω ἰσοσκελὲς τρίγωνο $ABC$ κορυφῆς $A$ καὶ σηµεῖο $X$ τῆς ϐάσης $BC$ (µεταξὺ $B$ καὶ $C$). ῍Αν $B^{\prime }$ καὶ $C^{\prime }$ εἶναι οἱ προβολὲς τοῦ $X$ στὶς εὐθεῖες $AB$ καὶ $AC$, ἀντιστοίχως, ἀποδεῖξτε ὅτι τὸ ἄθροισµα $X{B}^{\prime }+X{C}^{\prime }$ ἰσοῦται µ’ ἕνα σταθερὸ µέγεθος τοῦ τριγώνου, ὁποιαδήποτε κι ἂν εἶναι ἡ ϑέση τοῦ $X$ (ἐπὶ τῆς ϐάσεως $BC$).

647) ∆ίδεται κύκλος κέντρου $O$ καὶ ἀκτίνας $R$ καὶ σηµεῖο $S$ ὄχι ἐπὶ τῆς περιφέρειας. ᾿Επὶ τῆς περιφέρειας τοῦ κύκλου κινεῖται σηµεῖο $A$. Σὲ κάθε ϑέση του ϑεωροῦµε σηµεῖο $T$ ἐπὶ τοῦ εὐθυγράµµου τµήµατος $SA$, τέτοιο ὥστε $ST=\frac{1}{3}SA$. Ποιὸς εἶναι ὁ γεωµετρικὸς τόπος τοῦ σηµείου $T$;

648) ῎Εστω τρίγωνο $ABC$, ἀµβλυγώνιο στὴν κορυφὴ $B$. ῎Εστω $D$ ἡ προβολὴ τοῦ $A$ στὴν εὐθεία $BC$, $F$ ἡ προβολὴ τοῦ $C$ στὴν εὐθεία $AB$ καὶ $H$ ἡ τοµὴ τῶν εὐθειῶν $AD$ καὶ $CF$. ᾿Αποδεῖξτε τὰ ἑξῆς: 

(α΄) ῾Η εὐθεία $HB$ εἶναι κάθετη στὴν $AC$. 

(ϐ΄) ῍Αν $E$ εἶναι ἡ τοµὴ τῶν $HB$ καὶ $AC$, τότε ἡ $BE$ διχοτοµεῖ τὴ γωνία $DEF$.

649) Οἱ σχετικὲς ϑέσεις τριῶν κύκλων $C_1,C_2,C_3$, τῶν ὁποίων τὰ κέντρα δὲν εἶναι συνευθειακά, εἶναι ὡς ἑξῆς : ῾Ο $C_1$ εἶναι στὸ ἐσωτερικὸ τοῦ $C_2$ καὶ ἐφάπτεται µὲ αὐτόν· $C_2$ ἐφάπτεται ἐξωτερικὰ µὲ τὸν $C_3$· οἱ $C_1,C_3$ ϐρίσκονται ὁ ἕνας ἔξω ἀπὸ τὸν ἄλλο. ᾿Αποδεῖξτε ὅτι ὁ ϱιζικὸς ἄξονας τῶν $C_1,C_3$, ἡ κοινὴ ἐσωτερικὴ ἐφαπτοµένη τῶν $C_2,C_3$ καὶ ἡ κοινὴ ἐφαπτοµένη τῶν $C_1,C_2$ διέρχονται ἀπὸ τὸ ἴδιο σηµεῖο.

Θέματα Β' εξεταστικής περιόδου (2011) - Ευκλείδεια Γεωμετρία, Καθηγητής Ν.Γ. Τζανάκης.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com