Έστω $x$ και $y$ πραγματικοί αριθμοί με $x > y$, τέτοιοι ώστε
$x^2y^2 + x^2 + y^2 + 2xy = 40$
και
$xy + x + y = 8$.
Να βρεθεί ο $x$.
Harvard - MIT Math Tournament 2013
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
1 σχόλιο:
υψωνουμε τα μελη της 2ης εξισωσης στο τετραγωνο και απο την εξισωση που θα παρουμε αφαιρουμε την πρωτη εξισωση( x^2 ... =40 ) και παιρνουμε οτι:
ΑπάντησηΔιαγραφήx^2*y+x*y^2=12 (3)
πολλαπλασιαζουμε με x και y την 2η εξισωση και παιρνουμε
x^2*y+x^2+x*y=8*x (4)
y^2*x+x*y+y^2=8*y (5)
προσθετουμε (4) και (5) και χρησιμποιωντας την (3) παιρνουμε
(x+y)^2-8*(x+y)+12=0 (6)
η (6) μας δινει 2 λυσεις
(x+y)=6 και (x+y)=2
η λυση (x+y)=2 δινει μεσω της (2) x*y=6 και τελικα μιγαδικες ριζες
η λυση (x+y)=6 δινει μεσω της (2) x*y=2 και τελικα (αφου x>y) x=3+ριζα(7) και y=3-ριζα(7)