Πέμπτη 20 Ιουνίου 2013

▪ $y < x =?$

Έστω $x$ και $y$ πραγματικοί αριθμοί με $x > y$, τέτοιοι ώστε
$x^2y^2 + x^2 + y^2 + 2xy = 40$ 
και
$xy + x + y = 8$. 
Να βρεθεί ο $x$.
Harvard - MIT Math Tournament 2013 
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
Αναρτήθηκε από στις 20.6.13
Ετικέτες ,

1 σχόλιο:

  1. ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ ΧΟΝΔΡΟΣ22 Ιουνίου 2013 στις 3:05 π.μ.

    υψωνουμε τα μελη της 2ης εξισωσης στο τετραγωνο και απο την εξισωση που θα παρουμε αφαιρουμε την πρωτη εξισωση( x^2 ... =40 ) και παιρνουμε οτι:
    x^2*y+x*y^2=12 (3)
    πολλαπλασιαζουμε με x και y την 2η εξισωση και παιρνουμε
    x^2*y+x^2+x*y=8*x (4)
    y^2*x+x*y+y^2=8*y (5)
    προσθετουμε (4) και (5) και χρησιμποιωντας την (3) παιρνουμε
    (x+y)^2-8*(x+y)+12=0 (6)
    η (6) μας δινει 2 λυσεις
    (x+y)=6 και (x+y)=2
    η λυση (x+y)=2 δινει μεσω της (2) x*y=6 και τελικα μιγαδικες ριζες
    η λυση (x+y)=6 δινει μεσω της (2) x*y=2 και τελικα (αφου x>y) x=3+ριζα(7) και y=3-ριζα(7)

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)