Μαθηματικά κατορθώματα ενός μεγάλου φυσικού
O Lev D. Landau αναγνωρίζεται γενικώς ως ένας από τους μεγαλύτερους φυσικούς του 20ου αιώνα. Ανακάλυψε θεμελιώδη αποτελέσματα σε πολλές περιοχές της θεωρητικής φυσικής και υπήρξε ιδρυτής και διευθυντής της σοβιετικής σχολής των θεωρητικών φυσικών. Μαζί με τον Ε. Lifshitz κατάφεραν ένα πραγματικό επιστημονικό επίτευγμα: δημιούργησαν μια εγκυκλοπαίδεια της θεωρητικής φυσικής – την περίφημη σειρά εγχειριδίων Course of Theoretical Physics που ήδη έχει θρέψει πολλές γενιές εκκολαπτόμενων φυσικών. Τα μαθηματικά αποτελούν απαραίτητο εργαλείο για τον θεωρητικό φυσικό. Οι θεωρητικοί φυσικοί είναι αδύνατο να εργαστούν χωρίς καλή γνώση των μαθηματικών. Ωστόσο υπάρχουν πολλά επίπεδα ικανότητας.
Η ικανότητα του Landau στα μαθηματικά ήταν καταπληκτική. Αν έχετε την ευκαιρία να διαβάσετε τα βιβλία του, θα καταλάβετε με πόση ευκολία ξεπερνούσε τα μαθηματικά προβλήματα – ή ίσως δεν τα αισθανόταν καν ως προβλήματα.
Στο τέλος της δεκαετίας του 1940, όταν ήμουν φοιτητής στο Πανεπιστήμιο του Χάρκοβο, ο Landau ήταν εξαιρετικά δημοφιλής στους φοιτητές του Τμήματος Φυσικής. Στη δεκαετία του 1930, ο Landau είχε εργαστεί στο Χάρκοβο δίνοντας διαλέξεις στο Πανεπιστήμιο, και έτσι υπήρχαν αναρίθμητοι θρύλοι (ή γεγονότα) που διαδίδονταν από στόμα σε στόμα. Υπήρχε η ιστορία ότι στη μέση της διάλεξής του ανέφερε πως «το ηλεκτρόνιο είναι μια μικρή κίτρινη μπάλα…», χωρίς ο τόνος της φωνής του να δίνει την παραμικρή ένδειξη ότι έλεγε ασυναρτησίες. Οι φοιτητές σημείωναν επιμελώς τη φράση, και τότε ο Landau ξέσπαγε με εκφράσεις που δεν άφηναν περιθώριο για παρερμηνείες τους έδινε να καταλάβουν «τι πίστευε γι’ αυτούς». Υπάρχουν επίσης πολλές ιστορίες για τις υπερβολές του κατά τις εξετάσεις…..
Ιδιαιτέρως δημοφιλείς ήταν οι ιστορίες σχετικά με το μαθηματικό ταλέντο του Landau. Εκείνη την εποχή μελετούσαμε μαθηματικά από ένα βιβλίο με συλλογή προβλημάτων στο οποίο οι φοιτητές είχαν δώσει την προσωνυμία «Οι δέκα συγγραφείς» Εθεωρείτο εξαιρετικά δύσκολο. Στην πραγματικότητα, δεν καταφέρναμε πάντα να λύνουμε τα προβλήματα. Υπήρχε λοιπόν ο θρύλος (ή μήπως ήταν αλήθεια) ότι ο Landau είχε λύσει όλα τα προβλήματα των Δέκα συγγραφέων από δυο φορές: μία με κάποιο γνωστό τρόπο και μια με τον καλό!
Και ιδού τι άκουσα από τον δάσκαλό μου τον I.M. Lifshitz – θεωρητικό φυσικό με άριστες γνώσεις μαθηματικών.
Ο Landau πίστευε ότι δεν υπάρχει ανάγκη ειδικής μελέτης της θεωρίας πιθανοτήτων. Αν κατανοούμε το πρόβλημα, μπορούμε, μπορούμε πάντοτε να βρούμε την απάντηση με τη βοήθεια της κοινής λογικής και, αν είναι ανάγκη, με το διαφορικό και τον ολοκληρωτικό λογισμό.
Μια φορά ο Lifshitz διαφωνούσε με τον Landau, οπότε του έδωσε ένα δύσκολο πρόβλημα της θεωρίας πιθανοτήτων. Ο Landau δεν κατάφερε να βρει αμέσως και με το «μυαλό» την απάντηση, και αυτό τον ενόχλησε. Το απόγευμα όμως κάλεσε τον Lifshitz και του παρουσίασε μια πρωτότυπη και σωστή λύση του προβλήματος. Δυστυχώς έχω ξεχάσει το πρόβλημα, θυμάμαι όμως ότι δεν ήταν τετριμμένο.
Ο Landau πίστευε στις μαθηματικές του ικανότητες – και, αναμφίβολα, είχε κάθε λόγο να το κάνει. Μερικές φορές, όμως, η αυτοπεποίθησή του τον οδηγούσε να δίνει υπερβολική αξία στη διαίσθησή του (τουλάχιστον, σε περιπτώσεις όπου το πρόβλημα δεν απαιτούσε σοβαρή σκέψη).
Από όλα τα αριθμητικά παιχνίδια για έναν παίκτη θυμάμαι καλύτερα το παιχνίδι με τις πινακίδες κυκλοφορίας. Η αιτία είναι, χωρίς αμφιβολία, το γεγονός ότι το είχα μάθει από τον ίδιο τον Landau.
Σκοπός του παιχνιδιού είναι να κατασκευάσουμε μια ισότητα από τους τέσσερις αριθμούς μιας πινακίδας κυκλοφορίας. αυτοκινήτου. (Οι τότε σοβιετικές πινακίδες είχαν την μορφή «ΑΒΓΔ» – για παράδειγμα «1234»).
Ιδού οι κανόνες:
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μόνο τις αριθμητικές, αλγεβρικές και τριγωνομετρικές πράξεις που μάθατε στο σχολείο. Δεν επιτρέπεται να αλλάξετε τη θέση των ψηφίων, ενώ πρέπει να βρείτε τη λύση με το «μυαλό».
Με άλλα λόγια, πρέπει προκύψει ισότητα μεταξύ των αριθμών, εισάγοντας τα σύμβολα που είναι γνωστά σε οποιοδήποτε μαθητή λυκείου (+, -, x, τετραγωνική ρίζα, log, συν, ημ κ.ο.κ.). Μερικοί αριθμοί είναι εύκολοι – για παράδειγμα,
$7531$ ($7 – 5 = 3 – 1$)
ή
$3853$ ($3$η ρίζα του $8$ μείον $5 = -3$).
Υπάρχουν όμως και δυσκολότεροι αριθμοί – για παράδειγμα ο $7533$ για τον οποίο ισχύει
$7533 (7 – 5 = 3! / 3)$
όπου το θαυμαστικό (!) είναι το σύμβολο του παραγοντικού.
Οι φανατικοί παίκτες του εν λόγω παιχνιδιού συχνά διαφωνούσαν σχετικά με το ποιες είναι οι επιτρεπτές πράξεις και ποιες οι απαγορευμένες: το πρόβλημα έγκειτο στο ότι δεν γνώριζαν απακριβώς τα όρια της σχολικής ύλης. Ειδικά διαφωνούσαν για την ορθότητα της χρήσης του παραγοντικού (!) (το οποίο ήταν βολικό για συγκεκριμένους αριθμούς).
Την εποχή που μου περιέγραψε το παιχνίδι, ο Landau ήταν θαυμάσιος παίκτης. Μπορούσε να βρεί την απάντηση σχεδόν μόλις αντίκριζε την πινακίδα. Όμως, υπήρχαν προβλήματα άλυτα – για παράδειγμα η πινακίδα $7565$.
Φυσικά θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση $[χ]$, που δίνει το ακέραιο μέρος του $χ$:
$[7 / 5] = [6 / 5]$
αυτή όμως η συνάρτηση δεν διδάσκεται στο σχολείο. Εκτός αυτού, αν επιτρεπόταν η συνάρτηση $[χ]$, το παιχνίδι θα κατέληγε εξαιρετικά βαρετό.
Ανέκυψε το ζήτημα του «θεωρήματος ύπαρξης». Έθεσα ερώτημα στον Landau: «Είναι πάντοτε δυνατόν να κατασκευάσουμε μια ισότητα από τους αριθμούς μια πινακίδας κυκλοφορίας;»
«Όχι, βέβαια», απάντησε με έμφαση ο Landau.
Eντυπωσιάστηκα. «Επομένως θα έχετε αποδείξει το θεώρημα μη ύπαρξης….».
«Όχι», μου απάντησε, «αλλά δεν έχω καταφέρει να λύσω όλες τις πινακίδες κυκλοφορίας»!
Έχοντας λοιπόν προσβληθεί από τη μανία του παιχνιδιού με τις πινακίδες, μετέδωσα την ασθένεια σε όλους του νεαρούς μαθηματικούς που γνώριζα. Ένας από αυτούς, ο Υ. Gangel, πήρε το παιχνίδι πολύ στα σοβαρά και απέδειξε το θεώρημα ύπαρξης! Έδειξε ότι μπορούμε να εξισώνουμε οποιοδήποτε ζεύγος ακεραίων με τη βοήθεια συναρτήσεων που διδάσκονται στο λύκειο, διότι υπάρχει ένας τύπος αναγωγής του $Ν+1$ στο $Ν$.
Η απόδειξη του εν λόγω αναγωγικού τύπου βασίζεται στην παρατήρηση
$τεμ^2x = 1 + εφ^2x$
και στην απλή χρήση των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
Πράγματι, εύκολα βλέπει κανείς ότι
$(Ν+1)^{1/2}$ = τεμτοξεφ$Ν^{1/2}$
Δυστυχώς μετά την απόδειξη του θεωρήματος το παιχνίδι έχασε τη γοητεία του, διότι πλέον ήταν δυνατή η εξίσωση οποιωνδήποτε αριθμών με πολλαπλή εφαρμογή του αναγωγικού τύπου.
Έδειξα την απόδειξη στον Landau. Του άρεσε και συζητήσαμε (εν μέρει χαριτολογώντας) κατά πόσο άξιζε να δημοσιευτεί σε κάποιο σχετικό επιστημονικό περιοδικό.
«Ίσως δεν θα έπρεπε να το διακινδυνεύσουμε», μου είπε. «Οι μαθηματικοί θα προσβληθούν. Είναι ήδη έξαλλοι μαζί μου!»
Ολοκληρώνοντας θα ήθελα να επισημάνω για μια ακόμη φορά ότι ο Landau πίστευε στις μαθηματικές του ικανότητες, και η αυτοπεποίθησή του τον βοήθησε να λύσει δύσκολα και σημαντικά προβλήματα – πολύ δυσκολότερα από αυτά που εμφανίζονται στο παιχνίδι των πινακίδων κυκλοφορίας, μπορώ να σας διαβεβαιώσω!
Μ.Ι. Kaganov, περιοδικό QUANTUM, Ιανουάριος/Φεβρουάριος 2000
Πηγή: physicsgg
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου